Question

如圖，拋物線y=

1

2

x²-

5

2

x與x軸交于O，A兩點(diǎn)．半徑為1的動(dòng)圓（⊙P），圓心從O點(diǎn)出發(fā)沿拋物線向靠近點(diǎn)A的方向移動(dòng)；半徑為2的動(dòng)圓（⊙Q），圓心從A點(diǎn)出發(fā)沿拋物線向靠近點(diǎn)O的方向移動(dòng)．兩圓同時(shí)出發(fā)，且移動(dòng)速度相等，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到P，Q兩點(diǎn)重合時(shí)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．
（1）點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是______（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）若⊙P與⊙Q相離，則t的取值范圍是______．

Answer 1

（1）連接OP、PQ、AQ．
∵拋物線y=

1

2

x²-

5

2

x與x軸交于O，A兩點(diǎn)，
∴O與A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=

5

2

對(duì)稱，
又∵動(dòng)圓（⊙P）的圓心從O點(diǎn)出發(fā)沿拋物線向靠近點(diǎn)A的方向移動(dòng)；動(dòng)圓（⊙Q）的圓心從A點(diǎn)出發(fā)沿拋物線向靠近點(diǎn)O的方向移動(dòng)，兩圓同時(shí)出發(fā)，且移動(dòng)速度相等，
∴OP=AQ，P與Q也關(guān)于直線x=

5

2

對(duì)稱，
∴四邊形OPQA是等腰梯形．
作等腰梯形OPQA的高PM、QN，則OM=AN=t．
解方程

1

2

x²-

5

2

x=0，得x₁=0，x₂=5，
∴A（5，0），OA=5，
∴ON=OA-AN=5-t，
∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是5-t；

（2）若⊙P與⊙Q相離，分兩種情況：
①⊙P與⊙Q外離，則PQ＞2+1，即PQ＞3．
∵OM=AN=t，OA=5，
∴PQ=MN=OA-OM-AN=5-2t，
∴5-2t＞3，
解得t＜1，
又∵t≥0，
∴0≤t＜1；
②⊙P與⊙Q內(nèi)含，則PQ＜2-1，即PQ＜1．
由①知PQ=5-2t，
∴5-2t＜1，
解得t＞2，
又∵兩圓分別從O、A兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，且移動(dòng)速度相等，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到P，Q兩點(diǎn)重合時(shí)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，OA=5，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，
∴2t≤5，解得t≤

5

2

．
∴2＜t≤

5

2

．
故答案為5-t；0≤t＜1或2＜t≤

5

2

．