Question

（2013•鷹潭模擬）已知：拋物線m：y=a（x-2）²+b（ab＜0）的頂點為P，與x軸的交點為A，B（點A在點B的左側）．
（1）當a=-1，b=4，直接寫出與拋物線m有關的三條正確結論；
（2）若拋物線m經過原點，且△ABP為直角三角形．求a，b的值；
（3）若將拋物線m沿x軸翻折180°得拋物線n，拋物線n的頂點為Q，則以A，P，B，Q為頂點的四邊形能否為正方形？若能，請求出a，b滿足的關系式；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據y=a（x-2）²+b利用a=-1，b=4，直接得出答案；
（2）根據直線x=2與x軸交于點E，則E（2，0），以及拋物線經過原點，得出A（0，0），B（4，0），進而求出AE=BE=EC，當拋物線的頂點為P（2，-2）時，以及當拋物線的頂點為P′（2，2）時求出即可；
（3）根據拋物線m沿x軸翻折180°得拋物線n，則AB=PQ時，四邊形APBQ是正方形，即可求出．

解答：解：（1）①拋物線開口向下；②拋物線的對稱軸是：x=2；
③拋物線的頂點坐標是（2，4）（答案不唯一）；
            
（2）設直線x=2與x軸交于點E，則E（2，0）．
∵拋物線經過原點，∴A（0，0），B（4，0）．
△ABC為直角三角形，根據拋物線的對稱性可知AP=BP，
∴AE=BE=PE，
∴P（2，-2）或（2，2）．
當拋物線的頂點為P（2，-2）時，y=a（x-2）²-2，把（0，0）代入，
得：a=

1

2

，此時，b=-2．
當拋物線的頂點為P（2，2）時，y=a（x-2）²+2，把（0，0）代入，
得：a=-

1

2

，此時，b=2．
∴a=

1

2

，b=-2或a=-

1

2

，b=2．

（3）依題意，A、B關于點E中心對稱，當P，Q也關于點E對稱，
則當AB=PQ時，四邊形APBQ是正方形．
令y=0，則a（x-2）²+b=0
解得：x1=2+

- b a

，x2=2-

- b a

且E（2，0）
∴AB=x₁-x₂=2

- b a

，PQ=2|b|，
∴2

- b a

=2|b|，
∴ab=-1．

點評：此題主要考查了二次函數的頂點式的應用以及二次函數的對稱性，二次函數的綜合應用是初中階段的重點題型特別注意利用數形結合是這部分考查的重點也是難點同學們應重點掌握．