Question

直線y=-

1

3

x+1分別交x軸、y軸于A、B兩點，△AOB繞點O按逆時針方向旋轉90°后得到△COD，拋物線y=ax²+bx+c經過A、C、D三點．
（1）寫出點A、B、C、D的坐標；
（2）求經過A、C、D三點的拋物線表達式，并求拋物線頂點G的坐標；
（3）在直線BG上是否存在點Q，使得以點A、B、Q為頂點的三角形與△COD相似？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）A（3，0），B（0，1），C（0，3），D（-1，0）；（4分）

（2）∵拋物線y=ax²+bx+c經過C點，
∴c=3．（1分）
又∵拋物線經過A，D兩點，
∴

9a+3b+3=0 a-b+3=0

，
解得

a=-1 b=2

（2分）
∴y=-x²+2x+3（1分）
∴y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點G（1，4）．（1分）

（3）過點G作GH⊥y軸垂足為點H，
∵AB=

10

，BG=

10

，
∵tan∠BAO=

1

3

，tan∠GBH=

1

3

，
∴∠BGH=∠BAO（1分）
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BGH+∠ABO=90°，
∴∠GBA=90°，
∴∠ABQ=∠DOC=∠AOB（1分）
①當

OD

OC

=

BQ

BA

時，△ODC∽△BQA，
即

1

3

=

BQ

10

，
∴BQ=

10

3

（1分）
過點Q作QN⊥y軸，垂足為點N，設Q（x，y），
∵

NQ

BQ

=

HG

BG

，

|x|

10 3

=

1

10

，|x|=

1

3

，x=±

1

3

∵tan∠GBH=

1

3

，
∴BN=1，
∴Q1(

1

3

，2)，Q2(-

1

3

，0)（2分）
②同理可得：Q₃（3，10），Q₄（-3，-8）．（2分）