Question

請(qǐng)把下列每對(duì)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)的距離寫(xiě)在橫線上：
（1）①3與2

1

；  3與-2

5

；
③-4與-4

1

2

1

2

；  ④-3

1

2

與2

1

2

6

；
你能發(fā)現(xiàn)求出距離與這兩個(gè)數(shù)的差有什么關(guān)系嗎？如果有一對(duì)數(shù)為a，b，則a，b兩數(shù)所對(duì)應(yīng)的兩
點(diǎn)之間的距離可表示為

a-b

．
（2）如圖所示，點(diǎn)A、B所代表的數(shù)分別為1，-2，在數(shù)軸上畫(huà)出與A、B兩點(diǎn)的距離之和為5的點(diǎn)（并表上相應(yīng)的字母）
（3）由以上探索解答下列問(wèn)題：
①當(dāng)|x+1|+|x-2|=7時(shí)，x=

4或-4

； 
②|x-3|+|x-4|+|x-5|的和的最小值=

2

③求|x-1|+|x-2|+|x-3|…|x-21|的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)軸分別得出，進(jìn)而得出a，b兩數(shù)所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；
（2）根據(jù)點(diǎn)A、B所代表的數(shù)分別為1，-2，在數(shù)軸上畫(huà)出與A、B兩點(diǎn)的距離之和為5的點(diǎn)，結(jié)合數(shù)軸得出即可；
（3）①利用x的取值范圍分析得出即可；
②利用x=4時(shí)，求出原式的最值即可；
③可以用數(shù)形結(jié)合來(lái)解題：x為數(shù)軸上的一點(diǎn)，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-21|表示：點(diǎn)x到數(shù)軸上的21個(gè)點(diǎn)（1、2、3、…、21）的距離之和，由于原式的絕對(duì)值共有21項(xiàng)，最中間的那一項(xiàng)是|x-11|，所以只需取x=11，它們的和就可以獲得最小值．

解答：解：（1）①1；②5；③

1

2

；④6；
a，b兩數(shù)所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離可表示為a-b；

（2）C、D是與A、B兩點(diǎn)的距離之和為5的點(diǎn)
；

（3）①當(dāng)x≥-1時(shí)，|x+1|+|x-2|=7為x+1+x-2=7，解得：x=4，
當(dāng)x＜-1時(shí)，|x+1|+|x-2|=7為-x-1-x+2=7，解得：x=-3，
故答案為：4或-3；
②當(dāng)|x-3|+|x-4|+|x-5|的和最小，則x=4，
∴原式=1+0+1=2；
故答案為：2；
③當(dāng)x=11時(shí)，|x-1|+|x-2|+|x-3|…|x-21|=10+9+8+7+…+9+10=10×11=110．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了絕對(duì)值的性質(zhì)以及利用數(shù)形結(jié)合求最值問(wèn)題，利用已知得出x=11時(shí)，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-21|能夠取到最小值是解題關(guān)鍵．