Question

如圖，菱形ABCD中，點E，F，G，H分別在AB，BC，CD，DA上，且AE=AH=BF=DG=x，設四邊形EFGH的面積為S．
（1）求證：△BEF≌△DHG；
（2）已知∠B=60°，AB=2，當x變化時，S是變量還是常量？如果是變量，寫出S與x的函數關系式，如果是常量，請說明理由，并求出S的值；
（3）已知EH=EF=5，FG=11，求AB的長及tanB的值．

Answer 1

分析：（1）利用菱形的性質得出BE=DH，∠B=∠D，AB=AD=BC=CD，進而利用SAS得出△BEF≌△DHG；
（2）首先得出四邊形ABFH是平行四邊形，同理可得出：四邊形HFCD也為平行四邊形，則S=

1

2

（S_ABFH+S_HFCD）=

1

2

S_菱形求出即可；
（3）由圖形的軸對稱性且EH＜FG可知四邊形EFGH為等腰梯形，利用EH=EF=5，FG=11，得出MG=3，利用勾股定理可得梯形的高HM=4，利用勾股定理求得AB的長，
，進而利用等邊對等角得出∠B=∠1+∠2=∠4+∠5=∠EFG，即tanB=tan∠EFG求出即可．

解答：（1）證明：∵在菱形ABCD中，
∴∠B=∠D，AB=AD=BC=CD，
∵點E，F，G，H分別在AB，BC，CD，DA上，且AE=AH=BF=DG=x，
∴BE=DH，
在△BEF和△DHG中，

BE=DH ∠B=∠H BF=DG

，
∴△BEF≌△DHG（SAS）；

（2）解：是常量，
連HF，∵AH

∥

.

BF，
∴四邊形ABFH是平行四邊形，
同理可得出：四邊形HFCD也為平行四邊形，
∴S=

1

2

（S_ABFH+S_HFCD）=

1

2

S_菱形=

1

2

×2×

3

=

3

；

（3）解：過點H作HM⊥FG于點M，
由圖形的軸對稱性且EH＜FG可知四邊形EFGH為等腰梯形，
∵EH=EF=5，FG=11，
∴MG=3，
利用勾股定理可得梯形的高HM=4，
∵AH

∥

.

BF，
∴四邊形ABFH是平行四邊形，
利用勾股定理求得AB=FH=

64+16

=4

5

，
∵AE=AH，AB∥FH，
∴∠1=∠2=∠3，
又∵EH=EF，EH∥FG，
∴∠3=∠4=∠5，
∴∠1=∠2=∠4=∠5，
∴∠B=∠1+∠2=∠4+∠5=∠EFG
∴tanB=tan∠EFG=

4

3

．

點評：此題主要考查了菱形的性質以及等腰梯形的性質和勾股定理以及平行四邊形的性質等知識，利用圖象得出對應角之間的關系是解題關鍵．