Question

【題目】如圖，已知動點A在函數 的圖象上，AB⊥x軸于點B，AC⊥y軸于點C，延長CA至點D，使AD=AB，延長BA至點E，使AE=AC．直線DE分別交x，y軸分別于點P，Q．當QE：DP=4：9時，圖中陰影部分的面積等于 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：

解法一：過點D作DG⊥x軸于點G，過點E作EF⊥y軸于點F．
令A（t， ），則AD=AB=DG= ，AE=AC=EF=t．
在直角△ADE中，由勾股定理，得DE= = = = ．
∵△EFQ∽△DAE，
∴QE：DE=EF：AD，
∴QE= ，
∵△ADE∽△GPD，
∴DE：PD=AE：DG，
∴DP= ．
又∵QE：DP=4：9，
∴ ： =4：9，
解得t2= ．
∴圖中陰影部分的面積= AC2+ AB2= t2+ × = +3= ；
解法二：∵QE：DP=4：9，
∴EF：PG=4：9，
設EF=4t，則PG=9t，
∴A（4t， ），
由AC=AE AD=AB，
∴AE=4t，AD= ，DG= ，GP=9t，
∵△ADE∽△GPD，
∴AE：DG=AD：GP，
4t： = ：9t，即t2= ，
圖中陰影部分的面積= ×4t×4t+ × × = ．
所以答案是： ．
【考點精析】利用反比例函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大．