Question

【題目】如圖，點為平面直角坐標系的原點，在矩形中，兩邊、分別在軸和軸上，且點滿足：．

（1）求點的坐標（___，_____）；

（2）若過點的直線與矩形的邊交于點，且將矩形的面積分為兩部分，

①求直線的解析式；

②在直線確定一點，使得的面積等于矩形的面積，求點的坐標；

（3）在線段上，，在坐標軸上，為（2）中直線上一動點，若四點、、、構成平行四邊形，直接寫出的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（，-4）；（2）①y=，②（,）或（0，4）；（3）（3，0）或（，0）或（0，6）或（0，2）

【解析】

（1）根據非負數性質可求出a,b;

（2）①結合圖，根據三角形面積關系求出P的坐標，用待定系數法求解；

②根據題意作圖，可得Q的位置有兩種情況：根據軸對稱性質可得一種在y軸上；根據S△ACQ1=S梯形AOEQ1-S△AOC-S△CEQ1=S矩形ABCO可求出第二種情況；

（3）根據平行四邊形判定，過D作y軸的平行線與PB相交于N2，將OD沿AB平移至M1N1或沿y軸平移至M3N3或至M2N2可得到以OD為邊的平行四邊形；當N4E∥AD,且N4E=AD時，OD∥N4M4 ,ODN4=M4,也可得到以OD為邊的平行四邊形；分別可求出M的坐標．

解：（1）因為

所以=0，

所以，b=-4

所以B（，-4）

（2）①如圖，由已知可得△PBC的面積是：=

所以PC=

所以OP=OC-PC=

所以P（，0）

設直線BP的解析式是y=kx+b

則

解得

所以BP的解析式是y=

②如圖，Q的位置有兩種情況：

第一種：Q2位置

直線y=與y軸的交點是Q2（0，4）,

因為A（0，-4）

所以Q2，A關于x軸對稱

所以三角形ACQ2的面積=2S△AOC=矩形ABCO的面積．

第二種：Q1位置

設Q1（）

由S△ACQ1=S梯形AOEQ1-S△AOC-S△CEQ1=S矩形ABCO得

解得

所以

所以Q1（,）

所以Q的坐標是（,）或（0，4）

（3）如圖，過D作y軸的平行線與PB相交于N2，將OD沿AB平移至M1N1或沿y軸平移至M3N3或至M2N2可得到以OD為邊的平行四邊形；當N4E∥AD,且N4E=AD時，OD∥N4M4 ,ODN4=M4,也可得到以OD為邊的平行四邊形；

因為AD=

所以 AD=

所以BD=3

所以M1（3，0），M3（，0）

N2（，2）

所以DN2=2+4=6

所以OM2=6

所以M2（0，6）

當N4E∥AD且N4E=AD=時，可得E（0，6），

當EM4=OA=4,即M4（0，2）時，可得△N4EM4≌△DAO（SAS）

此時，∠N4M4E=∠AOD

所以∠N4M4O=∠DOE

所以N4M4∥OD

此時可得到OD為邊的平行四邊形；

綜合上述，M的坐標是：（3，0）或（，0）或（0，6）或（0，2）