Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．點D是AB中點，點E為邊AC上一點，連接CD，DE，以DE為邊在DE的左側作等邊三角形DEF，連接BF．

（1）△BCD的形狀為；
（2）隨著點E位置的變化，∠DBF的度數是否變化？并結合圖說明你的理由；
（3）當點F落在邊AC上時，若AC=6，請直接寫出DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）等邊三角形
（2）解：∠DBF的度數不變，理由如下：

∵∠ACB=90°，點D是AB中點，

∴CD= AB=AD，

∴∠ECD=30°．

∵△BDC為等邊三角形，

∴BD=DC，∠BDC=60°．

又∵△DEF為等邊三角形，

∴DF=DE，∠FDE=60°，

∴∠BDF+∠FDC=∠EDC+∠FDC=60°，

∴∠BDF=∠CDE．

在△BDF和△CDE中， ，

∴△BDF≌△CDE（SAS），

∴∠DBF=∠DCE=30°，

即∠DBF的度數不變

（3）解：過點E作EM⊥AB于點M，如圖所示．

在Rt△ABC中，∠A=30°，AC=6，

∴AB=2BC，AC= = BC=6，

∴BC=2 ，AB=4 ．

∵△DEF為等邊三角形，

∴∠DEF=60°，

∵∠A=30°，

∴∠ADE=30°，

∴DE=AE，

∴AM= AD= × AB= ．

在Rt△AME中，∠A=30°，AM= ，

∴AE=2EM，AM= = EM，

∴EM=1，AE=2，

∴DE=2．

【解析】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

∴AB=2BC，∠CBD=60°．

∵點D是AB中點，

∴BD=BC，

∴△BCD為等邊三角形．

所以答案是：等邊三角形．

【考點精析】掌握等邊三角形的性質和含30度角的直角三角形是解答本題的根本，需要知道等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．