Question

【題目】如圖1，正方形紙片ABCD的邊長為2，翻折∠B、∠D，使得兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P，EF、GH分別是折痕（如圖2）．設AE＝x（0＜x＜2），給出下列判斷：

①當x＝1時，點P是正方形ABCD的中心；

②當x＝時，EF＋GH＞AC；

③當0＜x＜2時，六邊形AEFCHG面積的最大值是；

④當0＜x＜2時，六邊形AEFCHG周長的值不變．

其中正確的是________（填序號）．

Answer 1

【答案】①④．

【解析】試題分析：①正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P，∴△BEF和△DGH是等腰直角三角形，∴當AE=1時，重合點P是BD的中點，∴點P是正方形ABCD的中心；故①結論正確；②正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P，∴△BEF∽△BAC，∵x=，∴BE=2-=，∴，即，∴EF=AC，同理，GH=AC，∴EF+GH=AC，故②結論錯誤；③六邊形AEFCHG面積=正方形ABCD的面積-△EBF的面積-△GDH的面積．∵AE=x，∴六邊形AEFCHG面積=BEBF-GDHD=4-×（2-x）（2-x）-xx==，∴六邊形AEFCHG面積的最大值是3，故③結論錯誤；④當0＜x＜2時，∵EF+GH=AC，六邊形AEFCHG周長=AE+EF+FC+CH+HG+AG=（AE+CH）+（FC+AG）+（EF+GH）=2+2+2=4+2，故六邊形AEFCHG周長的值不變，故④結論正確．