Question

如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AB=

29

，AC=4，BD=10．
問：（1）AC與BD有什么位置關系？說明理由．
（2）四邊形ABCD是菱形嗎？為什么？

Answer 1

分析：（1）根據平行四邊形對角線互相平分，可以得到OD、OA的長，利用勾股定理逆定理可知△AOD為直角三角形，所以垂直；
（2）由?ABCD，得AO=OC，BO=OD，根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形判定．

解答：解：（1）AC⊥BD；
∵?ABCD中，OD=

1

2

BD=5，OA=

1

2

AC=2
又∵△AOD中，OA²+OD²=5²+2²=29
∴BC²=（

29

）²=29
∴△AOD是直角三角形
∴AC⊥BD；
（2）四邊形ABCD是菱形；
由?ABCD，得AO=OC，BO=OD
又∵AC⊥BD
∴?ABCD是菱形．
故答案為AC⊥BD、四邊形ABCD是菱形．

點評：本題主要考查菱形的判定、平行四邊形的性質和勾股定理逆定理．有利于訓練學生思維能力．