Question

某水果批發商銷售每箱進價為40元的蘋果，物價部門規定每箱售價不得高于55元，市場調查發現，若每箱以50元的價格調查，平均每天銷售90箱，價格每提高1元，平均每天少銷售3箱．
（1）求平均每天銷售量y（箱）與銷售價x（元/箱）之間的函數關系式．
（2）求該批發商平均每天的銷售利潤w（元）與銷售價x（元/箱）之間的函數關系式．
（3）當每箱蘋果的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？

Answer 1

分析：本題是通過構建函數模型解答銷售利潤的問題．依據題意易得出平均每天銷售量（y）與銷售價x（元/箱）之間的函數關系式為y=90-3（x-50），然后根據銷售利潤=銷售量×（售價-進價），列出平均每天的銷售利潤w（元）與銷售價x（元/箱）之間的函數關系式，再依據函數的增減性求得最大利潤．

解答：解：（1）由題意得：
y=90-3（x-50）
化簡得：y=-3x+240；（3分）

（2）由題意得：
w=（x-40）y
（x-40）（-3x+240）
=-3x²+360x-9600；（3分）

（3）w=-3x²+360x-9600
∵a=-3＜0，
∴拋物線開口向下．
當x=-

b

2a

=60時，w有最大值．
又x＜60，w隨x的增大而增大．
∴當x=55元時，w的最大值為1125元．
∴當每箱蘋果的銷售價為55元時，可以獲得1125元的最大利潤．（4分）

點評：本題考查了二次函數的性質在實際生活中的應用．最大銷售利潤的問題常利函數的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數模型，然后結合實際選擇最優方案．其中要注意應該在自變量的取值范圍內求最大值（或最小值），也就是說二次函數的最值不一定在x=-

b

2a

時取得．