Question

如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，在直角坐標系中如圖擺放，點A的坐標為（0，2），點B的坐標為（6，0）．
（1）直接寫出線段AB的中點P的坐標為

 

；
（2）求直線OC的解析式；
（3）動點M、N分別從O點出發，點M沿射線OC以每秒

2

個單位長度的速度運動，點N沿線段OB以每秒1個長度的速度向終點B運動，當N點運動到B點時，M、N同時停止運動，設△PMN的面積為S（S≠0）運動時間為t秒，求S與t的函數關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于點A的坐標為（0，2），點B的坐標為（6，0），而P是線段AB的中點，由此即可確定P的坐標；
（2）如圖，過點C作CE⊥OB，CD⊥OA，由此得到∠ADC=∠CEB=∠DCE=90°，接著得到∠ACD+∠ACE=90°，然后利用
等腰三角形的直線可以構造確定條件證明△ACD≌△BCE，從而得到CE=CD，進一步得到點C在第一象限的角平分線上，由此即可求出直線OC的解析式；
（3）如圖，①當點M在點P左側時，過點P作PF⊥OB，由題意可知OM=

2

t，ON=t，然后根據已知條件可以分別把線段 MN、NF等線段用t表示，然后就可以求出函數解析式；
 ②當點M在點P右側時，過點P作PG⊥OB，方法和①一樣可以求出函數解析式解決問題．

解答：解：（1）P（3，1）；

（2）過點C作CE⊥OB，CD⊥OA
∴∠ADC=∠CEB=∠DCE=90°∴∠ACD+∠ACE=90°
在等腰Rt△ABC中
AC=BC，∠ACB=90°
∴∠BCE+∠ACE=90°（3分）
∴∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE
∴CE=CD
∴點C在第一象限的角平分線上（4分）
∴直線OC的解析式為y=x；

（3）①當點M在點P左側時
過點P作PF⊥OB
由題意可知
OM=

2

tON=t（5分）
∵點M在函數y=x上
∴M（t，t）
∵N（t，0）
∴MN⊥x軸
∴MN=t
∵點P（3，1）（6分）
∴PF=1，OF=3
∴NF=OF-ON=3-t；
∴S=S_梯形PMNF-S_△PFN=

(PF+MN)•NF

2

-

PF•NF

2

=-

t2

2

+

3

2

t；
 ②當點M在點P右側時
過點P作PG⊥OB
由①可知（8分）
∴MN⊥x軸
∴MN=t
∵點P（3，1）（9分）
∴PG=1，OG=3
∴NG=ON-OG=t-3
∴S=S_梯形PMNG-S_△PGN（10分）
S=

(PG+MN)•NG

2

-

PG•NG

2

=

(1+t)(t-3)

2

-

t-3

2

=

t(t-3)

2

=

t2

2

-

3t

2

（3＜t≤6）（11分）
綜上，S=-

- t2 2 + 3t 2 (0＜t＜3) t2 2 - 3t 2 (3＜t≤6)

．

點評：此題是一次函數的綜合題，首先根據中點的性質確定點的坐標，然后利用待定系數法和等腰直角三角形的性質確定函數的解析式，最后采取割補法利用面積公式解決問題．