Question

（2005•武漢）如圖，在平面直角坐標系中，點O₁的坐標為（-4，0），以點O₁為圓心，8為半徑的圓與x軸交于A、B兩點，過點A作直線l與x軸負方向相交成60°角．以點O₂（13，5）為圓心的圓與x軸相切于點D．

（1）求直線l的解析式；
（2）將⊙O₂以每秒1個單位的速度沿x軸向左平移，同時直線l沿x軸向右平移，當⊙O₂第一次與⊙O₁相切時，直線l也恰好與⊙O₂第一次相切，求直線l平移的速度；
（3）將⊙O₂沿x軸向右平移，在平移的過程中與x軸相切于點E，EG為⊙O₂的直徑，過點A作⊙O₂的切線，切⊙O₂于另一點F，連接AO₂、FG，那么FG•AO₂的值是否會發生變化？如果不變，說明理由并求其值；如果變化，求其變化范圍．

Answer 1

【答案】分析：因為⊙O₂不斷移動的同時，直線l也在進行著移動，而圓與圓的位置關系有：相離（外離，內含），相交、相切（外切、內切〕，直線和圓的位置關系有：相交、相切、相離，所以這樣一來，我們在分析過程中不能忽略所有的可能情況．
解答：解：（1）設直線l與y軸交于點N，
直線l經過點A（-12，0），
∵∠OAN=60°，
∴tan30°=，
解得：NO=12，
故與y軸交于點（0，），
設解析式為y=kx+b，則b=，k=，
∴直線l的解析式為y=-x-12；

（2）⊙O₂第一次與⊙O₁相切時，向左平移了5秒（5個單位）如圖所示．
在5秒內直線l平移的距離計算：
8+12-=20-
所以直線l平移的速度為每秒（4-）個單位；

（3）其值不變．
∵Rt△EFG∽Rt△AEO₂
于是可得：（其中O₂E=EG）
所以FG•AO₂=EG²=50，即其值不變．
點評：本題綜合考查了直線與圓、圓與圓的位置關系，全等三角形的判定，圖形的平移變換等多個知識點．考查學生綜合運用數學的能力．