Question

問題背景：已知x是實數，求y=

x2+4

+

(12-x)2+9

的最小值．要解決這個問題需現判斷出0＜x＜12，繼而聯想到構造以邊長為2+3和12為邊的矩形，找出等于

x2+22

和

(12-x)2+32

的線段，再比較

x2+22

和

(12-x)2+32

和矩形對角線的大小．
解：構造矩形ABCD，使AB=5，AD=12．在AB上截取AM=3，做矩形AMND．設點P是MN上一點MP=x，則PN=12-x，

PB= x2+22 PD= (12-x)2+32 BD= 122+52 =13 ∵PB+PD≥BD=13 ∴y的最小值是13.

（1）我們把上述求最值問題的方法叫做構圖法．請仿造上述方法求y=

1+x2

+

25+(8-x)2

的最小值．
探索創新：
（2）已知a，b，c，d是正實數且a+b+c+d=1，試運用構圖法求

a2+b2

+

b2+c2

+

c2+d2

+

d2+a2

的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據勾股定理，

1+x2

和

25+(8-x)2

表示矩形的對角線長，即可構造矩形ABCD，使AB=6，AD=8．在AB上截取AM=5，作矩形AMND．設點P是MN上一點MP=x，則PN=8-x，利用兩點之間線段最短即可證得；
（2）根據已知可以構造一個邊長分別是a+b+c+d的正方形，即可利用兩點之間線段最短即可求解．

解答：解：（1）構造矩形ABCD，使AB=6，AD=8．
在AB上截取AM=5，作矩形AMND．
設點P是MN上一點MP=x，則PN=8-x，
PB=

x2+12

，
PD=

(8-x)2+52

BD=

62+82

=10
∵PB+PD≥BD=10
∴y的最小值是10；

（2）構造圖形，使BE=

a2+b2

，EF=

b2+c2

，FG=

c2+d2

，DG=

d2+a2

，
則BE+EF+FG+DG=

a2+b2

+

b2+c2

+

c2+d2

+

d2+a2

的最小值等于BD=

BC2+CD2

=

(a+b+c+d)2+(a+b+c+d)2

=

12+12

=

2

．

點評：本題考查了兩點之間線段最短，正確理解題意是關鍵．