Question

【題目】如圖（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D。AF平分∠CAB，交CD于點E，交CB于點F。

（1）求證：CE=CF。

（2）將圖（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使點E′落在BC邊上，其它條件不變，如圖(2)所示。試猜想：BE′與CF有怎樣的數量關系？請證明你的結論。

Answer 1

【答案】（1）見解析證明；（2）=CF．理由見解析證明．

【解析】

試題分析：（1）根據角平分線的定義可得∠CAF=∠EAD，再根據等角的余角相等求出∠CFA=∠AED ，然后根據對頂角相等可得∠AED=∠CEF，從而得到∠CFA=∠AED，再根據等角對等邊證明即可；（2）過點E作EG⊥AC于點G，根據角平分線的性質得到ED=EG，根據平移的性質可得=DE，然后求出∠ACD=∠B，再利用“角角邊”證明△CEG≌全等，根據全等三角形對應邊相等可得BE′=CE，從而得到BE′=CF．

試題解析：（1）∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠EAD，∵∠ACB=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∵CD⊥AB，∴∠EAD+∠AED=90°， ∴∠CFA=∠AED ，又∵∠AED=∠CEF，∴∠CFA=∠AED，∴CE=CF；

（2）答：=CF． 過點E作EG⊥AC于點G，

∵AF平分∠CAB，ED⊥AB，EG⊥AC，∴ED=EG，∵△ADE平移得到，∴=DE，∴=GE，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠DCB=90°，∴∠ACD=∠B，在△CEG和中，∵，∴△CEG≌（AAS），∴CE=，又∵CE=CF，∴=CF．