Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，P，Q分別在BC，CA上，AP，BQ分別是∠BAC，∠ABC的角平分線．求證：BQ+AQ=AB+BP．

Answer 1

【答案】證明見解析．

【解析】

延長AB到D，使BD=BP，連接PD，由題意得：∠D=∠5=∠4=∠C=40°，從而得QB=QC，易證△APD≌△APC，從而得AD=AC，進而即可得到結論．

延長AB到D，使BD=BP，連接PD，則∠D=∠5．

∵AP，BQ分別是∠BAC，∠ABC的平分線，∠BAC=60°，∠ACB=40°，

∴∠1=∠2=30°，∠ABC=180°-60°-40°=80°，∠3=∠4=40°=∠C，

∴QB=QC，

又∠D+∠5=∠3+∠4=80°，

∴∠D=40°．

在△APD與△APC中，

∴△APD≌△APC（AAS），

∴AD=AC．

∴AB+BD=AQ+QC，

∴AB+BP=BQ+AQ．