Question

【題目】如圖，已知拋物線y= x2+bx+c經過△ABC的三個頂點，其中點A（0，1），點B（﹣9，10），AC∥x軸，點P是直線AC下方拋物線上的動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點E、F，當四邊形AECP的面積最大時，求點P的坐標；
（3）當點P為拋物線的頂點時，在直線AC上是否存在點Q，使得以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點A（0，1）．B（﹣9，10）在拋物線上，

∴ ，

∴ ，

∴拋物線的解析式為y= x2+2x+1

（2）

解：∵AC∥x軸，A（0，1）

∴ x2+2x+1=1，

∴x1=6，x2=0，

∴點C的坐標（﹣6，1），

∵點A（0，1）．B（﹣9，10），

∴直線AB的解析式為y=﹣x+1，

設點P（m， m2+2m+1）

∴E（m，﹣m+1）

∴PE=﹣m+1﹣（ m2+2m+1）=﹣ m2﹣3m，

∵AC⊥EP，AC=6，

∴S四邊形AECP

=S△AEC+S△APC

= AC×EF+ AC×PF

= AC×（EF+PF）

= AC×PE

= ×6×（﹣ m2﹣3m）

=﹣m2﹣9m

=﹣（m+ ）2+ ，

∵﹣6＜m＜0

∴當m=﹣ 時，四邊形AECP的面積的最大值是 ，

此時點P（﹣ ，﹣ ）．

（3）

解：∵y= x2+2x+1= （x+3）2﹣2，

∴P（﹣3，﹣2），

∴PF=yF﹣yP=3，CF=xF﹣xC=3，

∴PF=CF，

∴∠PCF=45°

同理可得：∠EAF=45°，

∴∠PCF=∠EAF，

∴在直線AC上存在滿足條件的Q，

設Q（t，1）且AB=9 ，AC=6，CP=3

∵以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，

①當△CPQ∽△ABC時，

∴ ，

∴ ，

∴t=﹣4，

∴Q（﹣4，1）

②當△CQP∽△ABC時，

∴ ，

∴ ，

∴t=3，

∴Q（3，1）．

【解析】（1）用待定系數法求出拋物線解析式即可；
（2）設點P（m， m2+2m+1），表示出PE=﹣ m2﹣3m，再用S四邊形AECP=S△AEC+S△APC= AC×PE，建立函數關系式，求出極值即可；
（3）先判斷出PF=CF，再得到∠PCF=∠EAF，以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，分兩種情況計算即可．此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法，相似三角形的性質，幾何圖形面積的求法（用割補法），解本題的關鍵是求函數解析式．