Question

已知：如圖，直線MN切⊙O于點C，AB為⊙O的直徑，延長BA交直線MN于M點，AE⊥MN，BF⊥MN，E、F分別為垂足，BF交⊙O于G，連接AC、BC，過點C作CD⊥AB，D為垂足，連接OC、CG．下列結(jié)論，其中正確的有（　　）
①CD=CF=CE；       ②EF²=4AE•BF；
③AD•DB=FG•FB；    ④MC•CF=MA•BF．

• A、①②③
• B、②③④
• C、①③④
• D、①②③④

Answer 1

分析：①由MN與圓O相切于點C，根據(jù)弦切角定理可得∠ACE=∠ABC，又由AB為圓O直徑，可得AC⊥BC，則可證得Rt△AEC≌Rt△ADC，同理可得Rt△BCD≌Rt△BCF，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可得CD=CF=CE；
②由①可證得Rt△ACE∽Rt△CBF，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，與CE=CF=

1

2

EF，即可證得EF²=4AE•BF；
③由Rt△BCD≌Rt△BCF與Rt△ACE≌Rt△GCF即可證得AD•DB=FG•FB；
④由△AME∽△CMD與Rt△ACD∽Rt△BCF．利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得MC•CF=MA•BF．

解答：解：∵MN與圓O相切于點C，
∴∠ACE=∠ABC，
又∵AB為圓O直徑，
∴AC⊥BC，
∵CD⊥AB，
∴∠ABC=90°-∠BAC=90°-∠DAC=∠ACD，
∴∠ACE=∠ACD，
∵∠AEC=∠ADC=90°，
在Rt△AEC和Rt△ADC中，

∠AEC=∠ADC ∠ACE=∠ACD AC=AC

，
∴Rt△AEC≌Rt△ADC（AAS），
∴CD=CE，
同理，Rt△BCD≌Rt△BCF，
∴CD=CE=CF，
故①正確；

由①的過程知：∠ACE=∠DBC=∠FBC，
∵∠AEC=∠CFB=90°，
∴Rt△ACE∽Rt△CBF，
∴

AE

CF

=

CE

BF

，
∴CE•CF=AE•BF，
由①的結(jié)論知，CE=CF=

1

2

EF，
∴

1

4

EF²=AE•BF
∴EF²=4AE•BF，
故②正確；

由①過程知，Rt△BCD≌Rt△BCF
∴DB=FB…（1）
∵MN為⊙O切線，
∴∠FCG=∠FBC=∠ABC=∠ACE，
由①結(jié)論知，CE=CF，
∵∠AEC=∠GFC=90°，
在Rt△ACE和Rt△GCF中，

∠AEC=∠GFC CE=CF ∠ACE=∠FCG

，
∴Rt△ACE≌Rt△GCF（ASA），
而由①的過程知，Rt△ACE≌Rt△ACD，
∴Rt△ACD≌Rt△GCF，
∴AD=FG…（2）
由（1）（2）得到：AD•DB=FG•FB；
故③正確；

∵∠M=∠M，∠AEM=∠ADC，
∴△AME∽△CMD，
∴

MC

DC

=

MA

AE

，
∵AE=AD，
∴

MC

DC

=

MA

DA

，
∴

MC

MA

=

MA

DA

，…（3）
又∵Rt△ACD∽Rt△BCF，
∴

DC

DA

=

BF

CF

，…（4）
由（3）（4）得到：

MC

MA

=

BF

CF

，
∴MC•CF=MA•BF；
故④正確．
故選D．

點評：此題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，相似三角形與全等三角形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意比例的性質(zhì)．