Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(m，0)、B(0，n)，且｜m-n-3｜+=0，點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線AO勻速運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動時間為t秒.

(1) 求OA、OB的長.

(2) 連接PB，若△POB的面積為3，求t的值.

(3) 過P作直線AB的垂線，垂足為D，直線PD與y軸交于點(diǎn)E，在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，是否存在這樣的點(diǎn)P，使△EOP≌△AOB?若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）OA=6，OB=3；（2）若△POB的面積為3，則t的值為4或8；（3）存在這樣的點(diǎn)P，使△EOP≌△AOB，t的值是3或9．

【解析】

（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列方程求解即可；

（2）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時，②當(dāng)點(diǎn)P在線段AO的延長線上時，分別根據(jù)△POB的面積為3構(gòu)造方程求解即可；

（3）當(dāng)OP＝OB＝3時，分兩種情況，畫出符合條件的兩種圖形，可通過AAS證明兩三角形全等，結(jié)合圖形和全等三角形的性質(zhì)即可得出答案．

解：（1）∵，

∴m-n-3=0，2n-6=0，

解得：n=3，m=6，

∴OA=6，OB=3；

（2）分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時，

∵AP=t，

∴PO=6-t，

∴△POB的面積＝，

解得：t=4；

②當(dāng)點(diǎn)P在線段AO的延長線上時，

∵AP=t，

∴PO=t-6，

∴△POB的面積＝，

解得：t=8，

綜上，若△POB的面積為3，則t的值為4或8；

（3）當(dāng)OP＝OB＝3時，分兩種情況：

①如圖：

∵∠BAO+∠APD=90°，∠APD=∠OPE，∠OPE+∠PEO=90°,

∴∠BAO=∠PEO，

又∵∠BOA=∠POE=90°，OP＝OB，

∴△EOP≌△AOB（AAS），

∵OP＝OB＝3，

∴AP=6-3=3，

∴t=3，

②如圖：同理可證△EOP≌△AOB（AAS），

∵OP＝OB＝3，

∴AP=6+3=9，

∴t=9，

即存在這樣的點(diǎn)P，使△EOP≌△AOB，t的值是3或9．