Question

（一）問題：你能比較兩個數2009²⁰¹⁰和2010²⁰⁰⁹的大小嗎？
為了解決這個問題，我們先把它抽象成數學問題，寫出他的一般形式，即比較nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（n為自然數），然后我們分析這些簡單情形入手，從中發現規律，經過歸納，猜想出結論．
（1）通過計算，比較下列各組數的大小：
①1²

 

2¹；②2³

 

3²；③3⁴

 

4³；④4⁵

 

5⁴；⑤5⁶

 

6⁵…
（2）從第（1）題的結果經過歸納，可以猜想出nⁿ⁺¹

 

（n+1）ⁿ（n≥3）
（3）根據上面歸納猜想得到的一般結論，試比較下列兩個數的大小：
①2009²⁰¹⁰

 

2010²⁰⁰⁹；②-2009²⁰¹⁰

 

-2010²⁰⁰⁹
（二）請比較大小：

231981+1

231982+1

 

231982+1

231983+1

，并寫出理由．

Answer 1

分析：（一）（1）通過計算求出各自的值比較大小；
（2）由第一問中各兩數底數的規律以及指數的規律總結規律，第二個數的底數比第一個大1，指數小1；
（3）根據第二問總結出的規律求解．對于負數的比較：首先取其絕對值，絕對值大的較小．
（二）將兩式統分，再比較它們的大小關系．

解答：解：（一）
（1）分別求出各自的值然后比較兩數的大小；1²＜2¹，2³＜3²，3⁴＞4³，4⁵＞5⁴，5⁶＞6⁵；
（2）由第一問得到規律，當n≥3時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；
（3）由第二問中的規律得：2009²⁰¹⁰＞2010²⁰⁰⁹，不等式兩邊同乘以-1，不等號變換方向得-2009²⁰¹⁰＜-2010²⁰⁰⁹；

（二）．
對兩式統分，分母都為：（23¹⁹⁸²+1）（23¹⁹⁸³+1），分子分別為（23¹⁹⁸¹+1）（23¹⁹⁸³+1），（23¹⁹⁸²+1）²，
比較兩分子得原不等式大小為：

231981+1

231982+1

＞

231982+1

231983+1

．

點評：此題主要考查了實數的大小的比較，題目比較難，對于學生的能力要求比較高，本題首先根據乘方運算的法則得到第一問的規律，然后根據此規律求解以下的問題．對于（二）是利用通分比較兩式大小．