Question

【題目】已知,平面直角坐標系中,A(0,4) ,B (b，0) (－4＜b＜0),將線段AB繞點A逆時針旋轉90°得到線段AC,連接BC．

(1)如圖1,直接寫出C點的坐標： ；(用b表示)

(2)如圖2,取線段BC的中點D,在x軸取一點E使∠DEB＝45°,作CF⊥x軸于點F．

①求證：EF＝OB；

②如圖3,連接AE,作DH∥y軸交AE于點H,當OE＝EF時,求線段DH的長度．

圖1 圖2 圖3

Answer 1

【答案】(1) ①(4,b＋4)；(2) ①見解析；②1．

【解析】

（1）作CD⊥y軸，易知△ABO≌△CAD，即可求出C點坐標；

（2）連AD、OD作DP⊥OD交y軸于P，易證△DBO≌△DAP，得出PO＝OE，再根據OA＝OF即可證明EF＝OB；②連結OD、AD，作直線DH交x軸于M，作AN⊥DH于N

DM⊥EF，則EM＝MD＝MF＝1，證得△BDM≌△DAN，求得NH＝HM=2，DH＝HM－DM＝1

（1）作CD⊥y軸，

∵將線段AB繞點A逆時針旋轉90°得到線段AC,

∴AB=AC，∠BAO+∠DAC=∠BAC=90°，

又∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠ABO=∠DAC，

又∠AOB=∠CDA=90°，

∴△ABO≌△CAD，

∵A(0,4) ,B (b，0) ，

∴AO=4，BO=-b

∴CD=AO=4，DO=AO-AD=AO-BO=4+b,

∴C點坐標為(4,b＋4)；

(2)①連AD、OD作DP⊥OD交y軸于P

∴∠DOA=∠DEB

由（1）得AB=AC，故AD⊥BC，AD=BD

∴∠ADP+∠PDB=90°，

∵∠PDB+∠BDO=90°，

∴∠ADP=∠BDO

∴△DBO≌△DAP

得BO＝AP，∠DPO＝∠DOP＝45°

則PD的延長線過點E

∴PO＝OE

又OA＝OF＝4，則EF＝AP＝BO．

②∵OE＝EF＝OB＝．

連結OD、AD，作直線DH交x軸于M，作AN⊥DH于N

DM⊥EF，則EM＝MD＝MF＝1

又AD=BD，∠BMD=∠DNA

∴△BDM≌△DAN

BM＝DN＝2＋1＝3

∴AN=DM=ME

又∠ANH=∠EMH=90°，∠AHN=∠EHM,

∴△AHN≌△EHM

NH＝HM＝＝2

則DH＝HM－DM＝2－1＝1．