Question

（2008•樂山）從甲，乙兩題中選做一題，如果兩題都做，只以甲題計分．
題甲：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點E是邊AD的中點，連接BE交AC于點F，BE的延長線交CD的延長線于點G．
（1）求證：；
（2）若GE=2，BF=3，求線段EF的長．
題乙：如圖，反比例函數y=的圖象，當-4≤x≤-1時，-4≤y≤-1．
（1）求該反比例函數的解析式；
（2）若M，N分別在反比例函數圖象的兩支上，請指出什么情況下線段MN最短（不需證明），并求出線段MN長度的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：甲：（1）因為AD∥BC，所以△GED∽△GBC，所以兩三角形的對應邊成比例；又點E是邊AD的中點，AE=ED．此題得證
（2）AD∥BC還可以得到△AEF∽△CBF，又AE=ED，通過等量代換即可得到GE、GB、EF、FB之間的關系．
乙：（1）圖象經過A（-1，-4），可用待定系數法求解．
（2）考慮經過原點并且在同一直線上，也就成了線段MN．
解答：甲題：
（1）證明：∵AD∥BC
∴△GED∽△GBC（2分）
∴（3分）
又∵點E是邊AD的中點
∴AE=ED
∴（4分）

（2）解：∵AD∥BC
∴△AEF∽△CBF
∴（5分）
由（1）知
∴（6分）
設EF=x，則GB=5+x，
則有（8分）
即x²+5x-6=0
解得：x=1或x=-6，
經檢驗，x=1或x=-6都是原方程的根，但x=-6不合題意，舍去．
故EF的長為1．（9分）

乙題：
解：（1）因為反比例函數的圖象經過點（-1，-4）
有（2分）
∴k=4（3分）
所以反比例函數的解析式為．（4分）

（2）當M，N為-，三象限角平分線與反比例函數圖象的交點時，線段MN最短．（5分）
將y=x代入，
解得，
即M（2，2），N（-2，-2）．（6分）
∴OM=2．（7分）
則MN=4．（8分）
又∵M，N為反比例函數圖象上的任意兩點，
由圖象特點知，線段MN無最大值，即MN≥4．（9分）
點評：題甲：主要考查相似三角形對應邊成比例，點E是邊AD的中點得AE=ED是突破口
題乙：主要考查待定系數法求反比例函數解析式，猜想時首選經過原點．