Question

三個牧童A，B，C在一塊正方形的牧場上看守一群牛，為保證公平合理，他們商量將牧場劃分為三塊分別看守，劃分的原則是：①每個人看守的牧場面積相等；②在每個區域內，各選定一個看守點，并保證在有情況時他們所需走的最大距離（看守點到本區域內最遠處的距離）相等．按照這一原則，他們先設計了一種如圖1的劃分方案：把正方形牧場分成三塊全等的長方形，大家分頭守在這三個長方形的中心（對角線交點），看守自己的一塊牧場．
過了一段時間，牧童B和牧童C又分別提出里新的劃分方案．
牧童B的劃分方案如圖2：三塊長方形的面積相等，牧童的位置在三個小長方形的中心．
牧童C的劃分方案如圖3：把正方形的牧場分成三塊長方形，牧童的位置在三個小長方形的中心，并保證在有情況時三個人所需走的最大距離相等．請回答：

（I）長方形的兩條對角線是相等且互相平分的嗎？
（II）牧童B的劃分方案中，哪個牧童在有情況時所需走的最大距離較遠？
（III）牧童C的劃分方案是否符合他們商量的劃分原則？為什么？（提示：在計算時可取正方形邊長為2）

Answer 1

解：（I）長方形的兩條對角線是相等且互相平分．
（II）設正方形牧場的邊長為2，對于牧童B的劃分方案，如圖2：牧童A和B看守的長方形的一邊為1，設另一邊為x，
∵三塊長方形的面積相等，
∴x=×2²，x=，
∴牧童A和B所需走的最大距離為長方形的對角線長的一半：=，牧童C所需走的最大距離為：=，
∴牧童C在有情況時所需走的最大距離較遠．
（III）牧童C的劃分方案不符合他們商量的劃分原則．理由如下：
設正方形牧場的邊長為2，對于牧童C的劃分方案，如圖3：牧童A和B看守的長方形的一邊為1，設另一邊為x，
∵三個人所需走的最大距離相等，
∴1²+x²=2²+（2-x）²，解得x=，
∴牧童B的所在的長方形的面積=1×=，而正方形面積的三分之一為，
∴三個長方形的面積不相等，不符合他們商量的劃分原則．
分析：（I）根據長方形的性質即可得到長方形的兩條對角線是相等且互相平分．
（II）設正方形牧場的邊長為2，牧童A和B看守的長方形的一邊為1，設另一邊為x，根據三塊長方形的面積相等，有牧童B所在長方形的面積等于正方形面積的三分一，即x=×2²，解出x=，然后根據勾股定理分別計算出牧童A和B所需走的最大距離和牧童C所需走的最大距離，再比較大小即可得到誰走的最大距離較遠；
（III）設正方形牧場的邊長為2，對于牧童C的劃分方案，牧童A和B看守的長方形的一邊為1，設另一邊為x，根據三個人所需走的最大距離相等，利用勾股定理得到
1²+x²=2²+（2-x）²，解得x=，然后計算牧童B所在長方形的面積為，它不等于正方形面積的三分一，因此得到牧童C的劃分方案不符合他們商量的劃分原則．
點評：本題考查了正方形的性質：正方形的四邊相等，四個角都為90°，面積等于邊長的平方．也考查了長方形的性質以及勾股定理．