Question

某班甲、乙、丙三位同學進行了一次用正方形紙片折疊探究相關數學問題的課題學習活動．
活動情境：
如圖2，將邊長為8cm的正方形紙片ABCD沿EG折疊（折痕EG分別與AB、DC交于點E、G），使點B落在AD邊上的點 F處，FN與DC交于點M處，連接BF與EG交于點P．
所得結論：
當點F與AD的中點重合時：（如圖1）甲、乙、丙三位同學各得到如下一個正確結論（或結果）：
甲：△AEF的邊AE=

 

cm，EF=

 

cm；
乙：△FDM的周長為16cm；
丙：EG=BF．
你的任務：
（1）填充甲同學所得結果中的數據；
（2）寫出在乙同學所得結果的求解過程；
（3）當點F在AD邊上除點A、D外的任何一處（如圖2）時：
①試問乙同學的結果是否發生變化？請證明你的結論；
②丙同學的結論還成立嗎？若不成立，請說明理由，若你認為成立，先證明EG=BF，再求出S（S為四邊形AEGD的面積）與x（AF=x）的函數關系式，并問當x為何值時，S最大？最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）根據圖形翻折變換的性質可設AE=x，則EF=8-x，利用勾股定理即可求出AE的長，進而求出EF的長；
（2）根據圖形翻折變換的性質可得到∠MFE=90°，由相似三角形的判定定理可得出△AEF∽△DFM，再由相似三角形的對應邊成比例即可得出△FMD各邊的長，進而求出其周長；
（3）①設AF=x，利用勾股定理可得出AE=4-

1

16

x2，同理可知△AEF∽△DFM，再由相似三角形的性質可得出△FMD的周長，由正方形的性質及全等三角形的判定定理可知△AFB≌△KEG，進而可得出四邊形AEGD的面積，由其面積表達式即可求出其面積的最大值．

解答：解：（1）AE=3cm，EF=5cm；
設AE=x，則EF=8-x，AF=4，∠A=90°，4²+x²=（8-x）²，x=3，
∴AE=3cm，EF=5cm；

（2）如答圖1，∵∠MFE=90°，
∴∠DFM+∠AFE=90°，
又∵∠A=∠D=90°，∠AFE=∠DMF，
∴△AEF∽△DFM，
∴

EF

FM

=

AE

DF

=

AF

DM

，
又∵AE=3，AF=DF=4，EF=5
∴

5

FM

=

3

4

，FM=

20

3

，

3

4

=

4

DM

，DM=

16

3

，
∴△FMD的周長=4+

20

3

+

16

3

=16；

（3）①乙的結果不會發生變化
理由：如答圖2，設AF=x，EF=8-AE，x²+AE²=（8-AE）²，
∴AE=4-

1

16

x2，
同上述方法可得△AEF∽△DFM，C_△AEF=x+8，FD=8-x，
則

C△FMD

C△AEF

=

FD

AE

，C△FMD=

(8-x)(8+x)

4- 1 16 x2

=16
②丙同學的結論還成立．
證明：如答圖2，
∵B、F關于GE對稱，
∴BF⊥EG于P，過G作GK⊥AB于K，
∴∠FBE=∠KGE，
在正方形ABCD中，GK=BC=AB，∠A=∠EKG=90°，
∴△AFB≌△KEG，
∴BF=EG．
由上述可知AE=4-

1

16

x2，△AFB≌△KEG，
∴AF=EK=x，AK=AE+EK=AF+AE=4-

1

16

x2+x，
S=

AE+DG

2

×8=0.5×8（AE+AK）
=4×（4-

1

16

x2+4-

1

16

x2+x）=-

1

2

x2+4x+32
S=-

1

2

(x-4)2+40，（0＜x＜8）
當x=4，即F與AD的中點重合時S_最大，S_最大=40．

點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質、圖形翻折變換的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理及二次函數的最值問題，涉及面較廣，難度適中．