Question

24、如圖，拋物線y=ax²+bx+c頂點為P（1，-1），與x軸交于O、A兩點，其中O為原點，點C是對稱軸與x軸的交點．
（1）求拋物線的解析式和點C的坐標；
（2）試在拋物線上找點D，在對稱軸上找點Q，使得以P、D、Q為頂點的三角形與△OPC相似．請求出所有可能的點D和點Q的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據頂點坐標求出y=a（x-1）²-1進而二次函數解析式即可；
（2）首先得出△OPC為等腰直角三角形，要使以P、D、Q為頂點的三角形與△OPC相似，則△PDQ也一定為等腰直角三角形，進而得出D點的坐標，再分別求出即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c的頂點為P（1，-1），
∴y=a（x-1）²-1
又拋物線經過原點O，
∴0=a（0-1）²-1，
∴a=1，（3分）
∴拋物線的解析式為y=（x-1）²-1，
即：y=x²-2x，（4分）
對稱軸為：直線x=1，
∴C點坐標為（1，0）（5分）；

（2）由（1）知，OC=1，PC=1，∠OCP=90°，
∴△OPC為等腰直角三角形．（6分）
要使以P、D、Q為頂點的三角形與△OPC相似，則△PDQ也一定為等腰直角三角形．
顯然，∠DPQ不可能是90°，所以∠DPQ=45°（7分），
∴點P在直線PO或直線PB上．
∴點D只能是（0，0），或（2，0）（9分），
當D為（0，0）時，若∠DQP=90°，則點Q與點C重合，
從而△PDQ與△OPC重合，不合，舍去；
若∠PDQ=90°，則點Q的坐標為（1，1）（10分）
當D為（2，0）時，若∠DQP=90°，則點Q與點C重合，即點Q的坐標為（1，0）；
若∠PDQ=90°，則點Q的坐標為（1，1）（11分）
所以，符合題意的點D和點Q為：D（0，0）、Q（1，1）；D（2，0）、Q（1，0）．（12分）

點評：此題主要考查了頂點式求二次函數解析式以及相似三角形的性質，在二次函數中相似三角形的應用是考查重點，同學們應重點掌握．