Question

已知拋物線．
（1）試說明：無論m為何實數，該拋物線與x軸總有兩個不同的交點．
（2）如圖，當拋物線的對稱軸為直線x=3時，拋物線的頂點為點C，直線y=x-1與拋物線交于A、B兩點，并與它的對稱軸交于點D．
①拋物線上是否存在一點P使得四邊形ACPD是正方形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；
②平移直線CD，交直線AB于點M，交拋物線于點N，通過怎樣的平移能使得以C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？

Answer 1

解：（1）該函數的判別式=m²-4m+7=（m-2）²+3≥3
∴該拋物線與x軸總有兩個不同的交點．

（2）由直線y=x-1與拋物線交于A、B兩點，
∴點A（1，0）
代入二次函數式則m=3
故二次函數式為：
當拋物線的對稱軸為直線x=3時，則y=-2，
即頂點C為（3，-2），
把x=3代入直線y=x-1則y=2，
即點D（3，2）
則AD=AC=2
設點P（x，）
由直線AD的斜率與直線PC的斜率相等
則
解得：x=3或x=5
則點P（3，-2）（與點D重合舍去）或（5，0）
經檢驗點（5，0）符合，
所以點P（5，0）
②設直線AB解析式為y=kx+b，將A（1，0），D（3，2）代入得直線AB：y=x-1，
設M（a，a-1），N（a，a²-3a+），
當以C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，MN=CD，即|（a-1）-（a²-3a+）|=4，
解得a=4±或3或5，
故把直線CD向右平移1+個單位或2個單位，向左平移-1個單位，能使得以C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．
分析：（1）從函數的判別式出發，判別式總大于等于3，而證得；
（2）①由直線y=x-1與拋物線交于A、B兩點，求得點A，代入拋物線解析式得m，由直線AD的斜率與直線PC的斜率相等，求得點P坐標；
②求得MN的坐標，從MN與CD的位置關系解得．
點評：本題考查了二次函數的綜合運用，求得判別式總大于等于3，而證得；求得點A，代入拋物線解析式得m，由直線AD的斜率與直線PC的斜率相等，而解得；平移后得到的情況，得到M，N的坐標而解得．