Question

【題目】在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（a，0），（0，b），其中a，b滿足 +|2a﹣5b﹣30|=0．將點B向右平移26個單位長度得到點C，如圖①所示．

（1）求點A，B，C的坐標；
（2）點M，N分別為線段BC，OA上的兩個動點，點M從點C向左以1.5個單位長度/秒運動，同時點N從點O向點A以2個單位長度/秒運動，如圖②所示，設運動時間為t秒（0＜t＜15）．

①當CM＜AN時，求t的取值范圍；
②是否存在一段時間，使得S四邊形MNOB＞2S四邊形MNAC？若存在，求出t的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ +|2a﹣5b﹣30=0，且 ≥0，|2a﹣5b﹣30|≥0，

∴ ，解得： ，

∴A（30，0），B（0，6），

又∵點C是由點B向右平移26個單位長度得到，

∴C（26，6）

（2）解：①由（1）可知：OA=30，

∵點M從點C向右以1.5個單位長度/秒運動，點N從點O向點A以2個單位長度/秒運動，

∴CM=1.5t，ON=2t，

∴AN=30﹣2t

∵CM＜AN，

∴1.5t＜30﹣2t，解得t＜ ，而0＜t＜15，

∴0＜t＜ ；

②由題意可知CM=1.5t，ON=2t，

∴BM=BC﹣CM=26﹣1.5t，AN=30﹣2t，

又B（0，6），

∴OB=6，

∴S四邊形MNOB= OB（BM+ON）=3（26﹣1.5t+2t）=3（26+0.5t），S四邊形MNAC= OB（AN+CM）=3（30﹣2t+1.5t）=3（30﹣0.5t），

當S四邊形MNOB＞2S四邊形MNAC時，則有3（26+0.5t）＞2×3（30﹣0.5t），解得t＞ ＞15，

∴不存在使S四邊形MNOB＞2S四邊形MNAC的時間段．

【解析】（1）由條件可求得a、b的值，則可求得A、B兩點的坐標，再由平移可求得C點坐標；（2）①用t可分別表示出CM和AN，由條件可得到關于t不等式，可求得t的取值范圍；②用t表示出四邊形MNOB和四邊形MNAC的面積，由條件得到t的不等式，再結合t的取值范圍進行判定即可．