Question

已知：在四邊形ABCD中，AC = BD，AC與BD交于點O，∠DOC = 60°.

（1）當四邊形ABCD是平行四邊形時（如圖1），證明AB + CD = AC；
（2）當四邊形ABCD是梯形時（如圖2），AB∥CD，線段AB、CD和線段AC之間的數量關系是_____________________________；
（3）如圖3，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，結論AB + CD = AC是否仍然成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由.

Answer 1

（1）見解析（2）AB+CD=AC（3）不成立，應為AB+CD＞AC

（1）在?ABCD中，∵AC=BD
∴?ABCD為矩形
又∵∠DOC=60°，
∴∠AOB=60°，
又OA=OB=OC=OD，
∴AB=CD=OA=OC．
即AB+CD=AC；（3分）
（2）AB+CD=AC；
∵∠DOC=60°，
∴∠AOB=60°，
∵AC=BD，
∴△AOB，△DOC都是正三角形，
∴OA=OB=AB，OD=OC=DC
即AB+CD=AO+C0=AC；（3分）
（3）不成立，應為AB+CD＞AC．
如圖所示過B作BM∥AC，過C作CM∥AB，
則四邊形ABMC為平行四邊形，
∴CM=AB，BM=AC=BD，BM∥AC，
又∵∠DOC=60°，
∴∠DBM=∠DOC=60°
即三角形DBM為等邊三角形，
∴BM=AC=DM
在△CDM中，CM+CD＞DM，
即AB+CD＞AC．（4分）
（1）當四邊形ABCD為平行四邊形時，由于AC=BD，所以平行四邊形ABCD實際為矩形，若∠DOC=60°時，三角形ABO和三角形DOC均為等邊三角形，所以會有AB+CD=AC；
（2）當四邊形ABCD為等腰梯形時，三角形ABO和三角形CDO也是等邊三角形，所以會有AB+CD=AC；
（3）不成立，過B作BM∥AC，過C作CM∥AB，連接DM．構建平行四邊形后AB=CM，BM=AC=BD，由于∠DOC=60°，可知∠DBM=60°，即三角形BDM為等邊三角形，所以BD=BM=DM=AC，在三角形DCM中，CM+CD＞AC，即AB+CD＞AC．