Question

已知：如圖，在平面直角坐標系內，Rt△ABC的斜邊AB在x軸上，點C的坐標為（0，6），AB=15，∠CBA＞∠CAB，且tan∠CAB、tan∠CBA是關于x的方程x²+mx+n=0的兩根，
（1）求m、n的值．
（2）若∠ACB的角平分線交x軸于D，求直線CD的解析式．
（3）在（2）的條件下，直線CD上是否存在點M，過M點作BC的平行線，交y軸于N，使以M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出M點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意，可知OC=6，AB=15，據直角三角形的圖象關系，可得：OC²=OA•OB，OB=AB-OA，解方程可的OA、OB的值，tan∠CAB、tan∠CBA可求，又∠CBA＞∠CAB，且tan∠CAB、tan∠CBA是關于x的方程x²+mx+n=0的兩根，故m、n可求．
（2）過D點DE⊥AC，垂足為E，
因為∠ACB的角平分線交x軸于D，所以∠DCE=∠EDC=45°，CE=DE；由OA=12，OB=3，得AC=6

5

；BC=3

5

，令DE=CE=y，則

AD

AB

=

DE

BC

，即AD=

15y

3 5

①，又CD=

2

y，AE=AC-CE=6

5

-y，可得AD=

AE2+DE2

=

y2+(6 5 -y)2

②，由①②可得：y=2

5

，∴AD=10，∴OD=2，∴D點坐標為（-2，0），從而直線CD的解析式可求．
（3）存在，M₁（3，15），M₂（-3，-3）．

解答：解：（1）∵∠B+∠A=90°，∠B+∠BCO=90°，
∴∠A=∠BCO，∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB
∴

OC

OA

=

OB

OC

，
∴OC²=OA•OB，
又∵OB=AB-OA，
∴

6

OA

=

15-OA

6

，解得OA=12或3，由∠CBA＞∠CAB
∴OA=12，OB=3．
∴tan∠CAB=

1

2

，tan∠CBD=2，
∵tan∠CAB、tan∠CBA是關于x的方程x²+mx+n=0的兩根，
∴

1

4

+

1

2

m+n=0①，4+2m+n=0②；
解①②組成的方程組，得：m=-

5

2

，n=1．

（2）過D點作DE⊥AC，垂足為E，
∵∠ACB的角平分線交x軸于D，
∴∠DCE=∠EDC=45°，CE=DE；
∵OA=12，OB=3，
∴AC=6

5

；BC=3

5

，令DE=CE=y，
則

AD

AB

=

DE

BC

，
∴AD=

15y

3 5

①，又CD=

2

y，AE=AC-CE=6

5

-y，
∴AD=

AE2+DE2

=

y2+(6 5 -y)2

②，
由①②可得：y=2

5

，
∴AD=10，
∴OD=2，
∴D點坐標為（-2，0），
設直線CD的解析式為y=kx+b，把C（0，6），D（-2，0）代入解得：k=3，b=6，
∴y=3x+6．

（3）存在，M₁（3，15），M₂（-3，-3）

點評：本題是代數與幾何相結合的綜合考查題，所用到的知識面廣，難度較大．