Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線l：交y軸于點A．拋物線的圖象過點E（－1，0），并與直線l相交于A、B兩點．

⑴ 求拋物線的解析式；
⑵ 設點P是拋物線的對稱軸上的一個動點，當△PAE的周長最小時，求點P的坐標；
⑶ 在x軸上是否存在點M，使得△MAB是直角三角形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）拋物線的解析式是：
（2）P點坐標為（，）
（3）在x軸上存在點M，使得△MAB是直角三角形，滿足條件的點M的坐標是：M₁(－，0)，M₂(，0)，M₃(，0)，M₄(，0)

試題分析：⑴ 直線l：交y軸于點A(0，2)，
∵A（0，2）、E（－1，0）是拋物線上的點，
∴，解得．
∴拋物線的解析式是：．
⑵ ∵=，∴對稱軸為x=，
點E（－1，0）關于x=的對稱點為F(4，0)．

如圖⑴所示，聯結AF，與對稱軸x=的交點即為所求P點，由于E、F兩點關于對稱軸對稱，則此時△PAE的周長=PA+PE+AE
=" PA+PF+AE=" AF+AE最小．
設直線AF的解析式為y=kx+2，
把F（4，0）代入，可得4k+2=0，解得k＝－，
∴直線AF解析式為y=－x＋2．
當x=時，y=，∴P點坐標為（，）．
⑶ 設在x軸上存在點M，使得△MAB是直角三角形，
① 若∠BAM=90⁰，此時點M應在x軸的負半軸上，如圖⑵，
設直線l：交x軸于點C，令y=0，得x=6，∴C（6，0）．
由AM₁⊥AB，OA⊥OC，可證△AOC∽△M₁OA，
∴．
∵AO=2，OC=6，∴，
∴OM₁=，∴M₁(－，0)．
② 若∠ABM=90°，此時點M應在x軸的正半軸上，如圖⑵，

∵點B是直線和拋物線的交點，
∴，解得，或(舍)
∴B(，)．
解法一：設M(m，0)，過點B作BD⊥x軸于點D，則有△BDM∽△CDB，
∴ ．
∵BD=，M₂D=－m，CD=6－=，
∴，解得m=，∴M₂(，0)．
解法二：過點B作BD⊥x軸于點D，
∵BM₂∥AM₁， ∴∠BM₂D=∠AM₁O，
∵tan∠AM₁O＝＝3，
∴tan∠BM₂D＝＝＝3，
∴M₂D=．∴OM₂=OD－M₂D=－=，
∴M₂(，0)．
③ 若∠AMB=90°，則點M是以AB為直徑的圓與x軸的交點，此時點M應在x軸的正半軸上，如圖⑶，
設M(t，0)，過點B作BD⊥x軸于點D，則有△AOM∽△MDB，

∴．
∵AO=2，MD=－t，OM=t，BD=，
∴，解得，
∴M₃(，0)，M₄(，0)．
綜上所述，在x軸上存在點M，使得△MAB是直角三角形，滿足條件的點M的坐標是：M₁(－，0)，M₂(，0)，M₃(，0)，M₄(，0)．
點評：考查函數性質與坐標關系，探究點的存在性問題，幾何圖形形式問題和直角三角形性質綜合，中考常見壓軸題目種類，難度較大。