Question

（本題滿分10分）

如圖，將OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐標系中，動點M、N以每秒１個單位的速度分別從點A、C同時出發，其中點M沿AO向終點O運動，點N沿CB向終點B運動，當兩個動點運動了t秒時，過點N作NP⊥BC，交OB于點P，連接MP．

（1）點B的坐標為　  ；用含t的式子表示點P的坐標為     ；(3分)

（2）記△OMP的面積為S，求S與t的函數關系式（0 < t < 6）；并求t為何值時，S有最大值？(4分)

（3）試探究：當S有最大值時，在y軸上是否存在點T，使直線MT把△ONC分割成三角形和四邊形兩部分，且三角形的面積是△ONC面積的？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．(3分)

 

Answer 1

 

（1）（6，4）；（）

（2）當時，S有最大值

（3）存在，在y軸上存在點T1（0，），T2（0，）符合條件

解析:解：（1）（6，4）；（）.（其中寫對B點得1分）  3分

（2）∵S△OMP =×OM×，   4分

∴S =×（6 -t）×=+2t．

   ＝（0 < t <6）． 6分

∴當時，S有最大值．    7分

（3）存在．

由（2）得：當S有最大值時，點M、N的坐標分別為：M（3，0），N（3，4），

則直線ON的函數關系式為：．

設點T的坐標為（0，b），則直線MT的函數關系式為：，

解方程組得

∴直線ON與MT的交點R的坐標為．

∵S△OCN ＝×4×3＝6，∴S△ORT ＝ S△OCN＝2．  8分

當點T在點O、C之間時，分割出的三角形是△OR1T1，如圖，作R1D1⊥y軸，D1為垂足，則S△OR1T1＝••••RD1•OT ＝••b＝2.

∴，     b =.

∴b1 ＝，b2 ＝（不合題意，舍去）

此時點T1的坐標為（0，）.  9分

② 當點T在OC的延長線上時，分割出的三角形是△R2NE，如圖，設MT交CN于點E，由①得點E的橫坐標為，作R2D2⊥CN交CN于點D2，則

S△R2NE＝•EN•R2D2=••＝2.

∴，b=.

∴b1＝，b2＝（不合題意，舍去）．

∴此時點T2的坐標為（0，）．

綜上所述，在y軸上存在點T1（0，），T2（0，）符合條件．…10分