Question

如圖，在直角坐標系xOy中，直線y=

1

2

x+2與x軸，y軸分別交于A，B兩點，以AB為邊在第二象限內作矩形ABCD，使AD=

5

．
（1）求點A，點B的坐標，并求邊AB的長；
（2）過點D作DH⊥x軸，垂足為H，求證：△ADH∽△BAO；
（3）求點D的坐標．

Answer 1

分析：（1）在解析式中令y=0，x=0就可以求出A，B的坐標，根據勾股定理就可以求出AB的長；
（2）求證∠BAO=∠ADH，再根據∠AOB=∠DHA=90°，就可以證出結論；
（3）根據△ADH∽△BAO，可以求出DH，AH就可以寫出D的坐標．

解答：（1）解：在y=

1

2

x+2中，令y=0，
解得x=-4，
令x=0，
解得y=2，因而A（-4，0），B（0，2），
∴在Rt△AOB中，AB=

OA2+OB2

=

42+22

=2

5

；

（2）證明：由∠ADH+∠DAH=90°，∠BAO+∠DAH=90°，
∴∠BAO=∠ADH，
又∵∠AOB=∠DHA=90°，
∴△ADH∽△BAO；

（3）解：∵△ADH∽△BAO，
∴

DH

AO

=

AH

BO

=

AD

BA

，
即

DH

4

=

AH

2

=

5

2 5

，
∴DH=2，AH=1，
∴D（-5，2）．

點評：本題主要考查了函數與坐標軸的交點的求法，以及相似三角形的性質，相似三角形的對應邊的比相等．