Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝kx﹣與拋物線y＝ax2+bx+交于點A、C，與y軸交于點B，點A的坐標為（2，0），點C的橫坐標為﹣8．

（1）請直接寫出直線和拋物線的解析式；

（2）點D是直線AB上方的拋物線上一動點（不與點A、C重合），作DE⊥AC于點E．設點D的橫坐標為m．求DE的長關于m的函數解析式，并寫出DE長的最大值；

（3）平移△AOB，使平移后的三角形的三個頂點中有兩個在拋物線上，請直接寫出平移后的點A對應點A′的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）DE的最大值為5；（3）點A′（﹣， ）或（﹣2，3）

【解析】

(1)將點A,C坐標代入一次函數與二次函數表達式,即可解題,

（2）根據DE= DFsin∠DFE＝·（﹣m2﹣m+4）＝﹣（m+3）2+5即可求解,

（3）分別設出平移后的點A,B,O的坐標,根據有兩個點在二次函數圖形上,代入解方程組即可解題.

（1）將點A坐標代入直線表達式得：0＝2k﹣，解得：k＝，

故一次函數表達式為：y＝x﹣，則點C坐標為（﹣8，﹣），

同理，將點A、C的坐標代入二次函數表達式并解得二次函數表達式為：；

（2）作DF∥y軸交直線AB于點F，

∴∠DFE＝∠OBA，（同角的余角相等）

設點D的橫坐標為m，則點D（m，﹣m2﹣m+），點F（m，m﹣），

DF＝﹣m2﹣m+﹣（m﹣）＝﹣m2﹣m+4，

AB＝＝，sin∠DFE＝sin∠OBA＝，

∴DE＝DFsin∠DFE＝·（﹣m2﹣m+4）＝﹣（m+3）2+5，

故：DE的最大值為5；

（3）設三角形向左平移m個、向上平移n個單位時，三角形有2個頂點在拋物線上，

①當平移后點A和O在拋物線上時，

則平移后點A、O的坐標分別為（2﹣m，n）、（﹣m，n），

將上述兩個點坐標代入二次函數表達式得：

解得：m＝，n=,

②當平移后點A和B在拋物線上時，平移后點A、B的坐標分別為（2﹣m，n）、（﹣m，n-），

同理可得：點A′（﹣2，3），

即點A′（﹣， ）或（﹣2，3）．