Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A在y軸正半軸上，邊AB、OA（AB＞OA）的長分別是方程x2﹣11x+24=0的兩個根，D是AB上的點，且滿足．

（1）矩形OABC的面積是　 　，周長是　 　．

（2）求直線OD的解析式；

（3）點P是射線OD上的一個動點，當△PAD是等腰三角形時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）S=24，C=22；（2）y=-x；（3）P點的坐標為（， ）；（0，0）； ；

【解析】試題分析：（1）根據邊AB、OA（AB＞OA）的長分別是方程x2-11x+24=0的兩個根，即可得到AO=3，AB=8，進而得出矩形OABC的面積以及矩形OABC的周長；

（2）根據，AB=8，可得AD=3，再根據AO=3，進而得出D（-3，3），再根據待定系數法即可求得直線OD的解析式；

（3）根據△PAD是等腰三角形，分情況討論，根據等腰直角三角形的性質，求得點P的坐標．

試題解析：（1）（1）∵x2-11x+24=0，

∴（x-3）（x-8）=0，

∴x1=3，x2=8，

∵AB、OA（AB＞OA）的長分別是方程x2-11x+24=0的兩個根，

∴AO=3，AB=8，

∴矩形OABC的面積=3×8=24，矩形OABC的周長=2×（3+8）=22，

故答案為：24，22；

（2）∵，AB=8，

∴AD=3，

又∵AO=3，

∴D（-3，3），

設直線OD解析式為y=kx，則

3=-3k，即k=-1，

∴直線OD的解析式為y=-x；

（3）∵AD=AO=3，∠DAO=90°，

∴△AOD是等腰直角三角形，

∴∠ADO=45°，DO=3，

根據△PAD是等腰三角形，分4種情況討論：

①如圖所示，當AD=AP1=3時，點P1的坐標為（0，0）；

②如圖所示，當DA=DP2=3時，過P2作x軸的垂線，垂足為E，則

OP2=3-3，△OEP2是等腰直角三角形，

∴P2E=OE==3-，

∴點P2的坐標為（-3+，3-）；

③如圖所示，當AP3=DP3時，∠DAP3=∠ADO=45°，

∴△ADP3是等腰直角三角形，

∴DP3==

∴P3O=3-=，

過P3作x軸的垂線，垂足為F，則△OP3F是等腰直角三角形，

∴P3F=OF=，

∴點P3的坐標為（-， ）；

④如圖所示，當DA=DP4=3時，P4O=3+3，

過P4作x軸的垂線，垂足為G，則△OP4G是等腰直角三角形，

∴P4G=OG=+3，

∴點P4的坐標為（-3-，3+）；

綜上所述，P點的坐標為（， ）；（0，0）； ；