Question

如圖所示，以Rt△ABC的斜邊BC為一邊在△ABC的同側作正方形BCEF，設正方形的中心為O，連接AO，如果AB=4，AO=6

2

，那么AC=

 

．

Answer 1

分析：在AC上截取CG=AB=4，連接OG，根據B、A、O、C四點共圓，推出∠ABO=∠ACO，證△BAO≌△CGO，推出OA=OG=6

2

，∠AOB=∠COG，得出等腰直角三角形AOG，根據勾股定理求出AG，即可求出AC．

解答：
解：在AC上截取CG=AB=4，連接OG，
∵四邊形BCEF是正方形，∠BAC=90°，
∴OB=OC，∠BAC=∠BOC=90°，
∴B、A、O、C四點共圓，
∴∠ABO=∠ACO，
∵在△BAO和△CGO中

BA=CG ∠ABO=∠ACO OB=OC

，
∴△BAO≌△CGO，
∴OA=OG=6

2

，∠AOB=∠COG，
∵∠BOC=∠COG+∠BOG=90°，
∴∠AOG=∠AOB+∠BOG=90°，
即△AOG是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AG=

(6 2 )2+(6 2 )2

=12，
即AC=12+4=16，
故答案為：16．

點評：本題主要考查對勾股定理，正方形的性質，直角三角形的性質，全等三角形的性質和判定等知識點的理解和掌握，能熟練地運用這些性質進行推理和計算是解此題的關鍵．