Question

23、某工廠生產的某種產品按質量分為10個檔次．第1檔次（最低檔次）的產品一天能生產76件，每件利潤10元．每提高一個檔次，每件利潤增加2元，但一天產量減少4件．
（1）若生產第x檔次的產品一天的總利潤為y元（其中x為正整數，且1≤x≤10），求出y關于x的函數關系式；
（2）若生產第x檔次的產品一天的總利潤為1080元，求該產品的質量檔次．
（3）當生產第幾檔次的產品時，一天的總利潤最大？最大總利潤是多少？

Answer 1

分析：（1）每件的利潤為10+2（x-1），生產件數為76-4（x-1），則y═[10+2（x-1）][76-4（x-1）]；
（2）由題意可令y=1080，求出x的實際值即可．
（3）利用配方法求出二次函數的最值即可得出答案．

解答：解：（1）據題意可得y=[10+2（x-1）][76-4（x-1）]
整理，得y=-8x²+128x+640．
（2）當利潤是1080元時，即-8x²+128x+640=1080
解得x₁=5，x₂=11，
因為x=11＞10，不符合題意，舍去．
因此取x=5，
當生產產品的質量檔次是在第5檔次時，一天的總利潤為1080元．
（3）∵y=-8（x-8）²+1152，a=-8＜0，
∴當x=8時，y_最大=1152（元），
答：生產第八檔次是，一天的總利潤最大，最大利潤是1152元．

點評：此題考查的是二次函數的實際應用，難度一般．