Question

已知：Rt△OAB在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，P（3，4）為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)C為折線OAB上的動點(diǎn)，線段PC把Rt△OAB分割成兩部分．
問：點(diǎn)C在什么位置時(shí)，分割得到的三角形與Rt△OAB相似（注：在圖上畫出所有符合要求的線段PC，并求出相應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)）．

Answer 1

分析：按照公共銳角進(jìn)行分類，可以分為兩種情況：當(dāng)∠BOA為公共銳角時(shí)，只存在∠PCO為直角的情況；當(dāng)∠B為公共銳角時(shí)，存在∠PCB和∠BPC為直角兩種情況．如圖，C₁（3，0），C₂（6，4），C₃（6，

7

4

）．

解答：解：過P作PC₁⊥OA，垂足是C₁，
則△OC₁P∽△OAB．
點(diǎn)C₁坐標(biāo)是（3，0）．（2分）
過P作PC₂⊥AB，垂足是C₂，
則△PC₂B∽△OAB．
點(diǎn)C₂坐標(biāo)是（6，4）．（4分）
過P作PC₃⊥OB，垂足是P（如圖），
則△C₃PB∽△OAB，
∴

BC3

BO

=

BP

BA

．（6分）
易知OB=10，BP=5，BA=8，
∴BC3=

25

4

，AC3=8-

25

4

=

7

4

．（8分）
∴C3(6，

7

4

)．（9分）
符合要求的點(diǎn)C有三個(gè)，其連線段分別是PC₁，PC₂，PC₃（如圖）．（10分）

點(diǎn)評：本題實(shí)質(zhì)上就是畫直角三角形OAB的相似三角形，只不過所畫的相似三角形點(diǎn)P已經(jīng)確定了，所以就要根據(jù)網(wǎng)格找出三邊的長，再利用對應(yīng)邊相似比相等，畫出相似三角形．