Question

【題目】綜合與實踐：

問題情境：

在數學綜合與實踐課上，張老師啟示大家利用直線、線段以及點的運動變換進行探究活動.變換條件如下：如圖 1，直線 AB，AC，BC 兩兩相交于 A，B，C 三點，得知△ABC是等邊三角形，點 E 是直線 AC 上一動點（點 E 不與點 A，C 重合），點 F 在直線 BC上，連接 BE，EF，使 EF=BE．

獨立思考：

（1）張老師首先提出了這樣一個問題：如圖 1，當E是線段 AC 的中點時，確定線段 AE與 CF 的數量關系，請你直接寫出結論：AE____ CF（填“＞” “＜”或“=”）.

提出問題：

（2）“奮斗”小組受此問題的啟發，提出問題：若點E是線段 AC 上的任意一點，其他條件不變，（1）中的結論是否成立？該小組認為結論仍然成立，理由如下：如圖 2，過點 E作 ED∥BC，交 AB 于點 D. （請你補充完整證明過程）

拓展延伸：

（3）“縝密”小組提出的問題是：動點E的運動位置如圖3，圖4所示，其他條件不變，根據題意補全圖形，并判斷線段AE與CF的數量關系是否發生變化？ 請你選擇其中一種予以證明.

（4）“愛心”小組提出的問題是：若等邊△ABC 的邊長為 ，AE=1，則BF 的長為__________.（請你直接寫出結果）．

Answer 1

【答案】（1）＝；（2）見解析；（3）沒有發生變化；證明見解析；（4）或

【解析】

（1）根據等邊三角形性質和三線合一得到AE=CE，∠EBC=30°，∠ECB=60°，根據等邊對等角可知∠EFC=∠EBC=30°，根據三角形外角性質得到∠ECB=∠EFC+∠FEC，進而求出∠FEC，根據等角對等邊得到CE=CF，再利用等量代換即可解決問題.

（2）根據等邊三角形的性質和平行線的性質得到△ADE是等邊三角形，進而可知BD=CE，根據等邊對等角可知∠EFC=∠EBC，根據三角形外角性質得到∠EFC+∠CEF=60°，結合∠DBE+∠EBC=60°，進而證得∠DBE=∠CEF，利用SAS證得△DBE≌△CEF，利用全等三角形的性質得到CF=DE，即可得證；

（3）作出圖3，過點E作ED∥AB，交BF于點D，同（2）中方法證明△BED≌△FEC，即可得證；作出圖4，過點E作ED∥BC，交BA于點D，同（2）中方法證明△BED≌△EFC，即可得證；

（4）根據前面的證明可知，當點E在AC延長線上時，BF=BC+CF；當點E在AC上時，BF=BC+CF；當點E在CA延長線上時，BF=BC-CF；再結合CF=AE即可求得BF.

（1）AE=CF

證明：如圖1，∵△ABC是等邊三角形，點E是AC中點

∴AE=CE，∠EBC=30°，∠ECB=60°

∵EF=BE

∴∠EFC=∠EBC=30°

∵∠ECB=∠EFC+∠FEC

∴∠FEC=30°

∴CE=CF

∴AE=CF

故答案為：＝

（2）

該結論論仍然成立，理由如下：如圖 2，過點 E作 ED∥BC，交 AB 于點 D.

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，AB=AC=BC

∵ED∥BC，

∴∠ADE=∠AED=60°

∴△ADE是等邊三角形

∴AD=AE=DE

∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE

∵BE=EF

∴∠EBC=∠EFC

∵∠DBE+∠EBC=60°

∠EFC+∠CEF=60°

∴∠DBE=∠CEF

∴△DBE≌△CEF（SAS）

∴CF=DE

∴CF=AE

（3）如圖3所示

線段AE與CF的數量關系沒有發生變化，

證明：過點E作ED∥AB，交BF于點D

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，AB=AC=BC

∵ED∥AB，

∴∠AED=∠BAC=60°，∠CDE=∠ABC=60°

∴△ADE是等邊三角形

∴CD=DE=CE

∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE

∵BE=EF

∴∠EBC=∠DFE

∵∠CBE+∠CEB=∠ACB=60°

∠DEF+∠DFE=∠CDE=60°

∴∠BEC=∠DEF

∴∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED

即∠BED=∠CEF

∴△BED≌△FEC（SAS）

∴BD=CF

∵BD=BC+CD=AC+CE=AE

∴CF=AE

如圖4所示，

線段AE與CF的數量關系沒有發生變化，

證明：過點E作ED∥BC，交BA于點D

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，AB=AC=BC

∵ED∥BC，

∴∠AED=∠ACB=60°，∠EDA=∠ABC=60°

∴△ADE是等邊三角形

∴AE=ED=AD

∴AB+AD=AC+AE，即BD=CE

∵BE=EF

∴∠EBC=∠EFB

∵∠EBA+∠ABC=∠EBC

∠FEC+∠ACB=∠EFB

∴∠EBA=∠FEC

∴△BED≌△EFC（SAS）

∴ED=FC

∴CF=AE

（4）當點E在AC延長線上時，

∵BF=BC+CF，CF=AE

∴BF=BC+AE=

當點E在AC上時，

∵BF=BC+CF，CF=AE

∴BF=BC+AE=

當點E在CA延長線上時，

∵BF=BC-CF，CF=AE

∴BF=BC-AE=

綜上所述，BF=或

故答案為：或