Question

【題目】如圖，在ABCD中，AC的垂直平分線分別交BC、AD于點E、F，垂足為O，連接AE、CF．

（1）求證：四邊形AECF為菱形；

（2）若AB＝5，BC＝7，則AC＝ 時，四邊形AECF為正方形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）3或4．

【解析】

（1）先根據四邊形ABCD為平行四邊形可得AD∥BC，進而可得∠1＝∠2，再根據EF垂直平分AC可得AF＝CF，AE＝CE，進而可得∠2＝∠3，再根據四邊相等的四邊形是菱形作出判定；

（2）當∠AEC＝90°時，四邊形AECF是正方形，設AE＝EC＝x，則BE＝7－x，AC＝，根據勾股定理列出方程求得x的值，進而得AC的長即可．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠1＝∠2，

∵EF垂直平分AC，

∴AF＝CF，AE＝CE，

∵AE＝CE，EF⊥AC，

∴∠2＝∠3，

∴∠1＝∠3，

∴AE＝AF，

∴AE＝AF＝CE＝CF，

∴四邊形AECF是菱形．

（2）解：∵四邊形AECF是菱形，

∴當∠AEC＝90°時，四邊形AECF是正方形，

則∠AEB＝90°，

設AE＝EC＝x，則BE＝7－x，AC＝，

在Rt△ABE中，，

∴，

解得，，

∴AC＝或，

故答案為：3或4．