Question

【題目】已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a與y軸交于C點(diǎn)，交x軸于A、B，且OB＝OC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，直線l：y＝x+b（b＜0）交x軸于M，交y軸于N．將△MON沿直線l翻折，得到△MPN，點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)為P．若O的對應(yīng)點(diǎn)P恰好落在拋物線上，求直線l的解析式；

（3）如圖2，將原拋物線向左平移1個單位，向下平移t個單位，得到新拋物線C1．若直線y＝m與新拋物線C1交于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)M是新拋物線C1上一動點(diǎn)，連接PM，并將直線PM沿y＝m翻折交新拋物線C1于N，過Q作QT∥y軸，交MN于點(diǎn)T，求的值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）直線l的表達(dá)式為：y＝x﹣；（3）1．

【解析】

（1）OB＝OC＝3a，故點(diǎn)B（3a，0），將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y＝ax22ax3a，即可求解；

（2）求出點(diǎn)P的坐標(biāo)（﹣b，b），將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；

（3）計(jì)算xP+xM＝k，同理可得：xP+xN＝﹣k，而xT＝xQ＝﹣xP，而TH∥MG，故，即＝＝1．

解：（1）∵c＝﹣3a，

∴OB＝OC＝3a，故點(diǎn)B（3a，0），

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y＝ax2﹣2ax﹣3a并解得：a＝1或﹣（舍去﹣），

故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）連接OP，交MN于點(diǎn)K，則OP⊥MN，

則直線OP的表達(dá)式為：y＝﹣2x，而直線MN的表達(dá)式為：y＝x+b，

聯(lián)立上述兩個表達(dá)式并解得：x＝﹣b，則點(diǎn)K（﹣b，b），

∵點(diǎn)K是OP的中點(diǎn)，由中點(diǎn)公式得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣b，b），

將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：（﹣b）2﹣2（﹣b）﹣3＝b，解得：b＝﹣

（不合題意值已舍去）；

故直線l的表達(dá)式為： y＝x﹣；

（3）平移后拋物線的表達(dá)式C1：y＝x2﹣4﹣t①，

設(shè)直線PM的表達(dá)式為：y＝kx+c②；則PN的表達(dá)式為：y＝﹣kx+d，

聯(lián)立①②并整理得：x2﹣kx﹣（4+t+c）＝0，

∴xP+xM＝k，

同理可得：xP+xN＝﹣k，而xT＝xQ＝﹣xP，

如圖2，過點(diǎn)N作x軸的平行線交過點(diǎn)M與y軸的平行線于點(diǎn)G，延長TQ交NG于點(diǎn)H，

∴TH∥MG，故，即＝＝1．