Question

【題目】【閱讀學習】 劉老師提出這樣一個問題：已知α為銳角，且tanα=，求sin2α的值．

小娟是這樣解決的：

如圖1，在⊙O中，AB是直徑，點C在⊙O上，∠BAC=α，所以∠ACB=90°，tanα==．

易得∠BOC=2α．設BC=x，則AC=3x，則AB=x．作CD⊥AB于D，求出CD= （用含x的式子表示），可求得sin2α== ．

【問題解決】

已知，如圖2，點M、N、P為圓O上的三點，且∠P=β，tanβ =，求sin2β的值．

Answer 1

【答案】CD=；sin2α=；．

【解析】試題分析：（1）、根據題意的方法得出CD和sin2α的值；（2）、連接NO，并延長交⊙O于Q,連接MQ，MO，作MH⊥NO于H，設MN=k，則MQ=2k，NQ=k，OM=k，根據等面積法求出MH的長度，然后根據Rt△MHO計算三角函數的值.

試題解析：（1）、． sin2α==．

（2）、如圖，連接NO，并延長交⊙O于Q,連接MQ，MO，作MH⊥NO于H．

在⊙O中，∠NMQ=90°．

∵∠Q=∠P=β，OM=ON，

∴ ∠MON=2∠Q=2β

∵ tanβ=，

∴設MN=k，則MQ=2k，

∴NQ=．

∴OM=NQ=．

∵，

∴．

∴ MH=．

在Rt△MHO中，sin2β=sin∠MON =．