Question

在課外小組活動時，小慧拿來一道題（原問題）和小東、小明交流．
原問題：如圖1，已知△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°，分別以AB、BC為邊向外作△ABD與△BCE，且DA=DB，EB=EC，∠ADB=∠BEC=90°，連接DE交AB于點F．探究線段DF與EF的數量關系．
小慧同學的思路是：過點D作DG⊥AB于G，構造全等三角形，通過推理使問題得解．
小東同學說：我做過一道類似的題目，不同的是∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60度．
小明同學經過合情推理，提出一個猜想，我們可以把問題推廣到一般情況．
請你參考小慧同學的思路，探究并解決這三位同學提出的問題：
（1）寫出原問題中DF與EF的數量關系；
（2）如圖2，若∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原問題中的其他條件不變，你在（1）中得到的結論是否發生變化？請寫出你的猜想并加以證明；
（3）如圖3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，原問題中的其他條件不變，你在（1）中得到的結論是否發生變化？請寫出你的猜想并加以證明．

Answer 1

分析：本題的解題思路是通過構建全等三角形來求解．先根據直角三角形的性質，等邊三角形的性質得到一些隱含的條件，然后根據所得的條件來證明所構建的三角形的全等；再根據全等三角形的對應邊相等得出DF=EF的猜想．

解答：解：（1）DF=EF．
（2）猜想：DF=FE．
證明：過點D作DG⊥AB于G，則∠DGB=90度．
∵DA=DB，∠ADB=60度．
∴AG=BG，△DBA是等邊三角形．
∴DB=BA．
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AC=

1

2

AB=BG．
在Rt△DBG和Rt△BAC中

DB=AB BG=AC

∴Rt△DBG≌Rt△BAC（HL）．
∴DG=BC．
∵BE=EC，∠BEC=60°，
∴△EBC是等邊三角形．
∴BC=BE，∠CBE=60度．
∴DG=BE，∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°．
∵∠DFG=∠EFB，∠DGF=∠EBF，
在△DFG和△EFB中

∠DFG=∠EFB ∠FGD=∠FBE DG=BE

∴△DFG≌△EFB（AAS）．
∴DF=EF．

（3）猜想：DF=FE．
證法一：過點D作DH⊥AB于H，連接HC，HE，HE交CB于K，則∠DHB=90度．
∵DA=DB，
∴AH=BH，∠1=∠HDB．
∵∠ACB=90°，
∴HC=HB．
在△HBE和△HCE中

HB=HC BE=CE HE=HE

∴△HBE≌△HCE（SSS）．
∴∠2=∠3，∠4=∠BEH．
∴HK⊥BC．
∴∠BKE=90°．
∵∠ADB=∠BEC=2∠ABC，
∴∠HDB=∠BEH=∠ABC．
∴∠DBC=∠DBH+∠ABC=∠DBH+∠HDB=90°，
∠EBH=∠EBK+∠ABC=∠EBK+∠BEK=90°．
∴DB∥HE，DH∥BE．
∴四邊形DHEB是平行四邊形．
∴DF=EF．
證法二：分別過點D、E作DH⊥AB于H，EK⊥BC于K，連接HK，則
∠DHB=∠EKB=90度．
∵∠ACB=90°，
∴EK∥AC．
∵DA=DB，EB=EC，
∴AH=BH，∠1=∠HDB，
CK=BK，∠2=∠BEK．
∴HK∥AC．
∴點H、K、E在同一條直線上．
下同證法一．

點評：此題考查了全等三角形的判定和性質；等邊三角形的性質的性質及直角三角形的性質等知識點，在做題時要注意隱含條件的運用．