Question

某種產品的年產量不超過1 000t，該產品的年產量與費用之間的函數圖象是頂點在原點的拋物線的一部分（如圖甲）；該產品的年銷量與銷售單價之間的函數圖象是線段（如圖乙），若生產的產品都能在當年銷售完，問該產品年產量為多少噸時，所獲得的毛利潤最大？（毛利潤=銷售額-費用）

Answer 1

分析：本題通過圖象反映了二次函數，一次函數的有關數量，就可以簡便地求出兩個函數關系式，要找準毛利潤的等量關系：毛利潤=銷售單價×年產量-費用．

解答：解：設年產量（t）與費用（萬元）之間函數解析式，y₁=ax²，
由圖甲得，將點（1000，1000）代入得：1000=1000²a，
解得：a=

1

1000

，
即y₁=

1

1000

x²，
設年銷量（t）與銷售單價（萬元/t）之間的函數解析式為y₂=kx+b，
代入（0，30）、（1000，20）得：

30=b 20=1000k+b

，
解得：

k=- 1 100 b=30

，
即：y₂=-

1

100

x+30，
設毛利潤為y萬元，
由題意得：y=（-

1

100

x+30）x-

1

1000

x²，（其中0≤x≤1000）
y=-

11

1000

x²+30x=-

11

1000

（x²+

30000

11

x）=-

11

1000

（x-

15000

11

）²+

225000

11

，
當x=

15000

11

時，取最大值，
∵x=

15000

11

＞1000，
∴當0≤x≤1000時，y隨x的增大而增大，
故當x=1000時圖象達到最高點，故當年產量為1000噸時，所獲得的毛利潤最大．

點評：本題考查了二次函數的應用，難度適中，解答本題的關鍵是根據圖象列出函數式，并學會利用配方法求極值，注意變量x的取值范圍．