Question

【題目】已知關于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0.

（1）求證：方程恒有兩個不相等的實數根；

（2）若此方程的一個根是1，請求出方程的另一個根，并求出以此兩根為邊長的直角三角形的周長.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）2；4+2．

【解析】試題分析：（1）根據關于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0的根的判別式的符號來證明結論；

（2）根據一元二次方程的解的定義求得m值，然后由根與系數的關系求得方程的另一根．分類討論：①當該直角三角形的兩直角邊是2、3時，由勾股定理得斜邊的長度為：；②當該直角三角形的直角邊和斜邊分別是2、3時，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為；再根據三角形的周長公式進行計算．

（1）證明：∵△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=（m﹣2）2+4，

∴在實數范圍內，m無論取何值，（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，

∴關于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0恒有兩個不相等的實數根；

（2）解：根據題意，得

12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）=0，

解得，m=2，

則方程的另一根為：m+2﹣1=2+1=3；

①當該直角三角形的兩直角邊是1、3時，由勾股定理得斜邊的長度為：；

該直角三角形的周長為1+3+=4+；

②當該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3時，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為2；則該直角三角形的周長為1+3+2=4+2．