Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，繞點(diǎn)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且，的一邊交軸于點(diǎn)，開(kāi)始時(shí)另一邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，射線與軸的交點(diǎn)由點(diǎn)到點(diǎn)的過(guò)程中，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)三點(diǎn)的圓的圓心所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

此題屬于半角型題目.由題意得，圓心始終在線段BC的垂直平分線上，可證△BFC是直角三角形，所以一開(kāi)始經(jīng)過(guò)點(diǎn)三點(diǎn)的圓的圓心在BC的中點(diǎn)N.開(kāi)始在BC的中點(diǎn)N處，當(dāng)射線CD經(jīng)過(guò)點(diǎn)G時(shí)，如圖，此時(shí)圓心是F′B的垂直平分線與BC的垂直平分線的交點(diǎn)I,在 旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，射線與軸的交點(diǎn)由點(diǎn)到點(diǎn)的過(guò)程中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)三點(diǎn)的圓的圓心所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為線段NI的長(zhǎng).

如圖：旋轉(zhuǎn)到射線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，表示為∠E′CD′，F′B的垂直平分線MI與BC的垂直平分線NI交于點(diǎn)I, MI與BN交于點(diǎn) H′.

由題意得，A（4,0），B（0,4），AB的中點(diǎn)C（2,2），

∴∠COF=45°，又∵∠OCE=45°，∴∠CFO=90°，

過(guò)點(diǎn)C作CA′⊥x軸于點(diǎn)A′，即四邊形A′OFC是邊長(zhǎng)為2的正方形.

在A′O上截取A′G′=FF′，易證Rt△CA′G′≌Rt△CFF′,

∴CF′=C G′,∠A′CG′=∠FCF′,即∠F′CG′=90°.

設(shè)A′G′=FF′=x，則O G′=2-x，F′H=H G′=x+1.

Rt△OHG′中，∵OH2+ O G′2= H G′2，即12+（2-x）2=(x+1)2,

解得：x= .

∴F′B=4-2-=.MB= F′B ==MH′，

在等腰直角三角形BM H′和等腰直角三角形 H′NI中，B H′= ，

∵BN=AB=×4=，

∴NI=H′N=BN-B H′=- =.

故選：A.