Question

【題目】已知點A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函數y＝x2＋mx＋n的圖像上，當x1＝1、x2＝3時，y1＝y2．

（1）若P（a，b1），Q（3，b2）是函數圖象上的兩點，b1＞b2，則實數a的取值范圍是（ ）

A．a＜1 B．a＞3 C．a＜1或a＞3 D．1＜a＜3

（2）若拋物線與x軸只有一個公共點，求二次函數的表達式．

（3）若對于任意實數x1、x2都有y1＋y2≥2，則n的范圍是 ．

Answer 1

【答案】（1）C（2）y＝x2－4x＋4（3）n≥5

【解析】

（1）利用二次函數的性質，由于x1=1、x2=3時，y1=y2，點P到直線x=2的距離比點Q到直線x=2的距離要大，于是可得到a<1或a>3；

（2）先求出m的值，利用拋物線的對稱性可得拋物線的對稱軸為直線x=2，則根據拋物線對稱軸方程得到m=-4，再代入二次函數.

(3) 由于對于任意實數x1、x2都有y1＋y2≥2，則判斷二次函數的最小值大于或等于1，根據頂點坐標公式得到 ,然后解不等式即可．

（1）利用二次函數的性質，由于x1=1、x2=3時，y1=y2，點P到直線x=2的距離比點Q到直線x=2的距離要大，于是可得到a<1或a>3；故選C

（2）解：∵ 當x1＝1、x2＝3時，y1＝y2，

∴ 點A與點B為拋物線上的對稱點，

∴ 拋物線的對稱軸為直線x＝2，

即 －＝2，∴ m＝－4．

∵ 拋物線與x軸只有一個公共點，

∴ m2－4n＝0，∴ n＝4，

∴ 二次函數的表達式為y＝x2－4x＋4．

（3）由于對于任意實數x1、x2都有y1＋y2≥2，則判斷二次函數的最小值大于或等于1，根據頂點坐標公式得到 ,即n≥5