Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+mx+n與x軸相交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B的直線y=x+b交拋物線于另一點(diǎn)C（－5,6），點(diǎn)D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)B、C不重合），作DE∥AC，交該拋物線于點(diǎn)E，

（1）求m,n,b的值；

（2）求tan∠ACB；

（3）探究在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在∠DEA=45°，若存在，則求此時(shí)線段AE的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）m=1,n=；（2）；（3）

【解析】分析：（1）由點(diǎn)C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)解析式中的常數(shù)項(xiàng)b，再令一次函數(shù)解析式中y=0求出x值，由此可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)解析式中的系數(shù)m、n；

（2）過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，由二次函數(shù)解析式可求出交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，由點(diǎn)B、C、A點(diǎn)的坐標(biāo)，可找出線段CF、BF、AF、BA的長，通過解直角三角形即可找出BG、AG、BC的長，再根據(jù)正切的計(jì)算公式即可得出結(jié)論；

（3）假設(shè)存在，連接AE，過點(diǎn)E作EM⊥x軸于點(diǎn)M，通過角的計(jì)算得出∠BAE=∠BDE=∠BCA，設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)（2）的結(jié)論tan∠ACB=，即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論．

詳解：(1)∵直線y=x+b經(jīng)過點(diǎn)C(5，6) ∴b=1

∵B在x軸上，且在直線y=x+b上 ∴B(1，0)

∵拋物線y=x2+mx+n過B(1，0)、C(5，6)

∴ m=1,n=

(2)作CF⊥x軸于F，作AG⊥BC于G

∴F(5,0)

∵拋物線y=x2+mx+n與x軸交于A、B

∴A(3,0) B(1,0)∴CF=BF=6,AF=2,AB=4∴∠CBF=45°,BC=6,

∴BG=AG=2 ∴CG=4

∴tan∠ACB=

(3) ∵DE∥AC ∴∠BDE=∠BCA∵∠DEA=45° ∠DBA=45°

∴∠BAE=∠BDE=∠BCA

∴tan∠BAE=

設(shè)E（t, t2+t） ∴tan∠BAE＝=

∴t=0 ∴E(0, ) ∴AE=