Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AE平分∠BAF交⊙O于點E，過點E作直線與AF垂直，交AF延長線于點D，交AB延長線于點C．
（1）判斷CD是否是⊙O的切線，并說明理由．
（2）若，⊙O的半徑為1，求DE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）若要證明CD是⊙O的切線，只需證明CD與半徑垂直，故連接OE，證明OE∥AD即可；
（2）在△OCE中，分別利用角C的余弦值和正切值，可得出CE和CD，從而即可得出DE的長．
解答：證明：（1）連接OE，
∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，（3分）
又∵∠DAE=∠OAE，
∴∠OEA=∠DAE，（4分）
∴OE∥AD．（5分）
∴∠ADC=∠OEC．（6分）
∵AD⊥CD，∴∠ADC=90°，
故∠OEC=90°．
∴OE⊥CD，∴CD是⊙O的切線．（7分）

（2）∵，∴∠C=30°，（8分）
又∵OE=1，∴OC=2，AC=3．（9分）
在Rt△OCE中，，即，∴．（10分）
在Rt△OCE中，，即，∴．（11分）
∴．（12分）
點評：本題主要考查了切線的性質和應用，同時也考查了三角函數知識點的應用和平行線的性質，具有一定的綜合性，但難度不是太大．