Question

【題目】如圖，在中，，D在邊AC上，且．

如圖1，填空______，______

如圖2，若M為線段AC上的點，過M作直線于H，分別交直線AB、BC與點N、E．

求證：是等腰三角形；

試寫出線段AN、CE、CD之間的數量關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）36，72；（2）①證明見解析；②CD=AN+CE，證明見解析.

【解析】

（1）根據題意可得△ABC，△BCD，△ABD都是等腰三角形，根據等腰三角形的性質可得∠A=∠DBA=∠DBC=∠ABC=∠C，然后利用三角形的內角和即可得解；

（2）①通過“角邊角”證明△BNH≌△BEH，可得BN=BE，即可得證；

②根據題意可得AN=AB﹣BN=AC﹣BE，CE=BE﹣BC，CD=AC﹣AD=AC﹣BD=AC﹣BC，則可得CD=AN+CE.

解：（1）∵BD=BC，

∴∠BDC=∠C，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∴∠A=∠DBC，

∵AD=BD，

∴∠A=∠DBA，

∴∠A=∠DBA=∠DBC=∠ABC=∠C，

∵∠A+∠ABC+∠C=5∠A=180°，

∴∠A=36°，∠C=72°；

故答案為：36，72；

（2）①∵∠A=∠ABD=36°，∠B=∠C=72°，

∴∠ABD=∠CBD=36°，

∵BH⊥EN，

∴∠BHN=∠EHB=90°，

在△BNH與△BEH中，

，

∴△BNH≌△BEH（ASA），

∴BN=BE，

∴△BNE是等腰三角形；

②CD=AN+CE，理由：由①知，BN=BE，

∵AB=AC，

∴AN=AB﹣BN=AC﹣BE，

∵CE=BE﹣BC，

∴AN+BE=AC﹣BC，

∵CD=AC﹣AD=AC﹣BD=AC﹣BC，

∴CD=AN+CE.