Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2

2

．
（1）如圖1，若以點A為圓心、r為半徑的⊙A與BC相切于點D，求r．
（2）如圖2，若⊙A的半徑r=1，點O在BC上運動（點O與B、C不重合），設BO=x，△AOC的面積為y．①求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍．
②如圖2，以點O為圓心，BO長為半徑作圓，當⊙O與⊙A相切時，求△AOC的面積．

Answer 1

（1）∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2

2

，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴BC=4，
∵⊙A與BC相切于點D，
∴AD=r，AD⊥BC，
∴AD為BC邊上的中線，
∴r=AD=

1

2

BC=2，

（2）①作AD⊥BC于點D，
∵△ABC為等腰直角三角形，BC=4，
∴AD為BC邊上的中線，
∴AD=

1

2

BC=2，
∴S_△AOC=

1

2

OC•AD，
∵BO=x，△AOC的面積為y，
∴y=4-x（0＜x＜4），

②過O點作OE⊥AB交AB于E，
∵⊙A的半徑為1，OB=x，
當兩圓外切時，
∴OA=1+x，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∴BE=OE=

2

2

x，
∴在△AEO中，AO²=AE²+OE²=（AB-BE）²+OE²，
∴（1+x）²=（2

2

-

2

2

x）²+（

2

2

x）²，
∴x=

7

6

，
∵△AOC面積=y=4-x，
∴△AOC面積=

17

6

；
當兩圓內切時，
∴OA=x-1，
∵AO²=AE²+OE²=（AB-BE）²+OE²，
∴（x-1）²=（2

2

-

2

2

x）²+（

2

2

x）²，
∴x=

7

2

，
∴△AOC面積=y=4-x=4-

7

2

=

1

2

，
∴△AOC面積為

17

6

或

1

2

．